A barra prismática tem uma área da seção transversal A. Supondo que ela esteja submetida a uma carga axial distribuída que aumenta linearmente de w=0 em x=0 a w=w_{0} em x=a e depois decresce linearmente para w=0 em x=2 a, determinar a tensão normal média na barra em função de x no intervalo 0 \leq x<a.

Passo 1

O enunciado pede: "determinar a tensão normal média na barra em função de x no intervalo 0 \leq x<a".\n
Informações dadas:
  • A barra é prismática com área da seção transversal A.
  • Há uma carga distribuída axial w (força por unidade de comprimento) que varia com x.
  • Para 0\le x\le a a carga cresce linearmente de w=0 em x=0 até w=w_{0} em x=a.
  • Para a\le x\le 2a a carga decresce linearmente até zero em x=2a.\n
    O que é pedido: a expressão da tensão média \sigma(x) (tensão normal média na seção) como função de x para 0\le x<a.

Passo 2

Defino convenções e explico a estratégia (sem resolver ainda):\n
  • Vou chamar de w(t) a intensidade da carga axial no ponto t ao longo da barra (unidade: força/comprimento). Aqui t é a variável de integração para não confundir com a posição x da seção onde queremos a tensão.\n
  • Para obter a tensão média numa seção em x precisamos do esforço normal interno N(x) nessa seção e então calcular \sigma(x)=\dfrac{N(x)}{A}.\n
  • O esforço normal N(x) é determinado exigindo equilíbrio estático de uma parte livre da barra (por exemplo, a porção à direita da seção em x): o esforço interno tem que equilibrar a resultante das forças distribuídas que atuam na porção considerada. Vou tomar a porção à direita da seção (de x até 2a) e somar (integrar) a carga distribuída nesse intervalo.

Passo 3

Escrever a expressão da distribuição w(t) nas duas regiões (vou usar t como variável):\n
Para 0\le t\le a a intensidade cresce linearmente de 0 a w_0. Uma reta que passa por (0,0) e (a,w_0) tem equação
w(t)=\frac{w_{0}}{a}\,t,\qquad 0\le t\le a.
Para a\le t\le 2a a intensidade decresce linearmente de w_0 em t=a até 0 em t=2a. Uma forma conveniente é
w(t)=\frac{w_{0}}{a}(2a-t)=w_{0}\left(2-\frac{t}{a}\right),\qquad a\le t\le 2a.
(Verificação rápida: em t=a a segunda expressão dá w_0 e em t=2a 0.)

Passo 4

Expressar a resultante das forças (força total aplicada na porção da barra à direita da seção em x, isto é, no intervalo t\in[x,2a]) como integral da carga distribuída:\n
R(x)=\int_{t=x}^{2a} w(t)\,dt.
Para 0\le x<a esse integral é dividido em duas partes: de x até a usamos a primeira expressão de w(t), e de a até 2a usamos a segunda. Assim
R(x)=\int_{t=x}^{a}\frac{w_{0}}{a}t\,dt+\int_{t=a}^{2a}\frac{w_{0}}{a}(2a-t)\,dt.

Passo 5

Calcular a primeira integral passo a passo:
\int_{t=x}^{a}\frac{w_{0}}{a}t\,dt=\frac{w_{0}}{a}\left[\frac{t^{2}}{2}\right]_{t=x}^{t=a} =\frac{w_{0}}{a}\left(\frac{a^{2}}{2}-\frac{x^{2}}{2}\right) =\frac{w_{0}}{2a}\bigl(a^{2}-x^{2}\bigr).

Passo 6

Calcular a segunda integral passo a passo:
\int_{t=a}^{2a}\frac{w_{0}}{a}(2a-t)\,dt=\frac{w_{0}}{a}\left[2a t-\frac{t^{2}}{2}\right]_{t=a}^{t=2a}.
Avalio os termos:
  • Para t=2a: 2a(2a)-\dfrac{(2a)^{2}}{2}=4a^{2}-2a^{2}=2a^{2}.
  • Para t=a: 2a(a)-\dfrac{a^{2}}{2}=2a^{2}-\dfrac{a^{2}}{2}=\dfrac{3}{2}a^{2}.
    Subtraindo:
\left(2a^{2}\right)-\left(\tfrac{3}{2}a^{2}\right)=\tfrac{1}{2}a^{2}.
Multiplicando pelo fator fora:
\int_{a}^{2a}\frac{w_{0}}{a}(2a-t)\,dt=\frac{w_{0}}{a}\cdot\frac{1}{2}a^{2}=\frac{w_{0}a}{2}.

Passo 7

Somar as duas parcelas para obter R(x):
R(x)=\frac{w_{0}}{2a}\bigl(a^{2}-x^{2}\bigr)+\frac{w_{0}a}{2}.
Coloco em evidência e simplifico:
R(x)=\frac{w_{0}a}{2}-\frac{w_{0}}{2a}x^{2}+\frac{w_{0}a}{2} = w_{0}a-\frac{w_{0}}{2a}x^{2}.
Ou, de outra forma equivalente,
R(x)=\frac{w_{0}}{2a}\bigl(2a^{2}-x^{2}\bigr).

Passo 8

Relacione o resultado com a tensão média. Se tomarmos tensão média positiva para tração, e se a resultante R(x) for a força que o restante da barra aplica na porção à direita da seção, então a magnitude da tensão média na seção é
\sigma(x)=\frac{N(x)}{A}=\frac{R(x)}{A}.
(Se você usar outra convenção de sinal, coloque um sinal menos conforme necessário; aqui estou dando a expressão da tensão média em valor algébrico conforme R(x).)
Substituindo R(x),
\sigma(x)=\frac{1}{A}\left(w_{0}a-\frac{w_{0}}{2a}x^{2}\right) =\frac{w_{0}}{2aA}\bigl(2a^{2}-x^{2}\bigr).

Resposta

\sigma(x)=\frac{w_{0}a}{A}-\frac{w_{0}}{2aA}\,x^{2} \qquad\text{para }0\le x<a.

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