A barra prismática tem uma área da seção transversal
. Supondo que ela esteja submetida a uma carga axial distribuída que aumenta linearmente de
em
a
em
e depois decresce linearmente para
em
, determinar a tensão normal média na barra em função de
no intervalo
.
Passo 1
O enunciado pede: "determinar a tensão normal média na barra em função de
no intervalo
".\n
Informações dadas:
Informações dadas:
- A barra é prismática com área da seção transversal
. - Há uma carga distribuída axial
(força por unidade de comprimento) que varia com . - Para
a carga cresce linearmente de em até em . - Para
a carga decresce linearmente até zero em .\n
O que é pedido: a expressão da tensão média(tensão normal média na seção) como função de para .
Passo 2
Defino convenções e explico a estratégia (sem resolver ainda):\n
- Vou chamar de
a intensidade da carga axial no ponto ao longo da barra (unidade: força/comprimento). Aqui é a variável de integração para não confundir com a posição da seção onde queremos a tensão.\n - Para obter a tensão média numa seção em
precisamos do esforço normal interno nessa seção e então calcular .\n - O esforço normal
é determinado exigindo equilíbrio estático de uma parte livre da barra (por exemplo, a porção à direita da seção em ): o esforço interno tem que equilibrar a resultante das forças distribuídas que atuam na porção considerada. Vou tomar a porção à direita da seção (de até ) e somar (integrar) a carga distribuída nesse intervalo.
Passo 3
Escrever a expressão da distribuição
nas duas regiões (vou usar
como variável):\n
Para a intensidade cresce linearmente de
a
. Uma reta que passa por
e
tem equação
Para
Para
a intensidade decresce linearmente de
em
até
em
. Uma forma conveniente é
(Verificação rápida: em
a segunda expressão dá
e em
dá
.)
Passo 4
Expressar a resultante das forças (força total aplicada na porção da barra à direita da seção em
, isto é, no intervalo
) como integral da carga distribuída:\n
Para
esse integral é dividido em duas partes: de
até
usamos a primeira expressão de
, e de
até
usamos a segunda. Assim
Passo 5
Calcular a primeira integral passo a passo:
Passo 6
Calcular a segunda integral passo a passo:
Avalio os termos:
- Para
: - Para
:
Subtraindo:
Multiplicando pelo fator fora:
Passo 7
Somar as duas parcelas para obter
:
Coloco em evidência e simplifico:
Ou, de outra forma equivalente,
Passo 8
Relacione o resultado com a tensão média. Se tomarmos tensão média positiva para tração, e se a resultante
for a força que o restante da barra aplica na porção à direita da seção, então a magnitude da tensão média na seção é
(Se você usar outra convenção de sinal, coloque um sinal menos conforme necessário; aqui estou dando a expressão da tensão média em valor algébrico conforme
.)
Substituindo
,