Uma barra redonda é usada como elo de ligação de grande precisão em um sistema mecânico, que trabalha a uma temperatura de
. A barra é submetida a esforços axiais flutuantes entre 4500 N e 22500 N . A barra deve ser polida e feita em aço com
e
(temperatura ambiente). O fator de segurança deve ser no mínimo igual a 1,5. Usar fator de temperatura igual para limite de resistência e limite de escoamento.
a)- Determinar o diâmetro da barra para dimensionamento estático.
b)- Determinar o diâmetro da barra para vida infinita usando os critérios: Goodman, Soderberg, Gerber e Elíptico. Comparar e discutir os resultados, inclusive com o resultado do item a.
c)- Usando Goodman, determinar o diâmetro da barra para uma vida de
.
a)- Determinar o diâmetro da barra para dimensionamento estático.
b)- Determinar o diâmetro da barra para vida infinita usando os critérios: Goodman, Soderberg, Gerber e Elíptico. Comparar e discutir os resultados, inclusive com o resultado do item a.
c)- Usando Goodman, determinar o diâmetro da barra para uma vida de
Passo 1
O enunciado (e os números que ele dá) — tudo que vamos usar:
- Temperatura de serviço:
(o enunciado pede usar um fator de temperatura igual para e , mas NÃO fornece o valor numérico desse fator). - Cargas axiais flutuantes entre
e . - Material (aço, polido):
e (valores à temperatura ambiente). - Barra redonda polida (eixo de ligação de precisão).
- Fator de segurança mínimo:
.
O enunciado pede:
(a) determinar o diâmetro da barra para dimensionamento estático (ou seja, evitar escoamento para a carga máxima com o fator de segurança dado);
(b) determinar o diâmetro para vida infinita (resistência à fadiga) usando os critérios de Goodman, Soderberg, Gerber e Elíptico, e comparar com (a);
(c) usando Goodman, determinar o diâmetro para vida de ciclos.
(a) determinar o diâmetro da barra para dimensionamento estático (ou seja, evitar escoamento para a carga máxima com o fator de segurança dado);
(b) determinar o diâmetro para vida infinita (resistência à fadiga) usando os critérios de Goodman, Soderberg, Gerber e Elíptico, e comparar com (a);
(c) usando Goodman, determinar o diâmetro para vida de
Observações / Assunções necessárias (porque o enunciado não dá tabelas nem fatores detalhados):
- Como o enunciado não fornece o valor do fator de temperatura, vou assumir
(ou seja, não reduzir numericamente e ). Se na sua prova houver uma tabela com para , troque e refaça os cálculos multiplicando e por — o procedimento é o mesmo. - Para fadiga precisamos de um limite de resistência à fadiga básico
. Vou usar a aproximação usual para aços: (válida para muitos aços com até cerca de ). - Para ajustar
pelas condições reais aplicam-se fatores (superfície, tamanho, carregamento, temperatura, confiabilidade, acabamento): . Como a barra é polida, vou computar o fator de acabamento superficial pela forma empírica de Shigley
com os parâmetros típicos para acabamento “polished” aproximados por
e
. Para os outros fatores (tamanho, carregamento axial, temperatura, confiabilidade, etc.) vou assumir valor 1 (i.e.
). Isso significa que a correção principal que estou incluindo é a do acabamento polido; se você tiver uma tabela com todos os fatores, substitua-os na mesma fórmula e repita os cálculos.
4. Para o item (c) (vida finita ) é preciso uma curva
-
. Como não foi dada, assumirei a forma de Basquin/Ban-se típica:
4. Para o item (c) (vida finita
com valores aproximados usados em muitos exercícios:
e
. Isto serve para estimar a amplitude admissível para
. Se você tiver a curva
-
ou coeficientes diferentes, substitua-os.
Se tudo isso estiver claro, sigo com os cálculos.
Passo 2
Ideia: para projeto estático, usamos a carga máxima
e verificamos que a tensão média no eixo não ultrapasse o limite de escoamento dividido pelo fator de segurança.
Definições:
- Área da seção transversal da barra redonda:
. - Tensão axial média para a força
: . - Critério estático:
.
Procedimento:
- Calcular tensão admissível:
- Encontrar a área necessária para suportar
:
- Converter para diâmetro:
Cálculo numérico:
Portanto, o diâmetro estático calculado (para evitar escoamento com
) é
.
Passo 3
Primeiro transformamos a variação de carga em componente média e componente alternada:
- Força média:
- Força de amplitude:
Tensões correspondentes (serão funções da área
):
Agora calcular o limite de resistência à fadiga corrigido
.
- Limite básico:
- Fator de acabamento superficial
(Shigley, forma empírica):
Calcule:
Numérico:
logo
- Assumindo os demais fatores iguais a 1, obtemos
Resumindo para fadiga infinita:
-
, . -
, . -
. - Fator de segurança
.
Passo 4
Vamos escrever as equações (com inclusão do fator de segurança
). Adoto a forma: falha quando a combinação normalizada atinge
; para impor o fator de segurança eu escrevo a igualdade com o lado direito igual a
. Equivalentemente pode-se multiplicar as tensões por
, o resultado é o mesmo. Para as fórmulas abaixo usamos
e
.
- Critério de Soderberg (muito conservador, usa
no termo de média):
Substituindo
e
e isolando
:
- Critério de Goodman (linear, usa
no termo de média):
- Critério de Gerber (parabólico, menos conservador que Goodman):
Forma conveniente para manipular:
Substituindo
e
obtemos uma equação quadrática em
:
Multiplicando por
e rearranjando:
Isto é
. Resolver pela fórmula quadrática (escolhemos a raiz positiva).
- Critério Elíptico (aqui adotamos a forma elíptica simples frequentemente usada em exercícios):
Substituindo
e
e isolando
:
Então
.
Depois de obter
em cada caso, o diâmetro é
Passo 5
Vamos calcular numericamente usando os valores:
Lembrete de conversão:
.
- Soderberg:
Cálculo:
Soma
. Multiplicando por
dá
Diâmetro:
- Goodman:
Cálculo:
Soma
. Multiplicando por
:
Diâmetro:
- Gerber:
Resolver a quadrática (recorde:).
Escrevendo como.
Coeficientes (numéricos):
Fórmula quadrática (ativa raiz positiva):
Cálculo (números já arredondados): discriminante
, raiz
. Então
Diâmetro:
- Elíptico (forma adotada):
Cálculo:
Soma
. Multiplicando por
=>
. Raiz:
Diâmetro:
Passo 6
Resumo numérico:
- (a) Projeto estático (evitar escoamento):
- (b) Fadiga, vida infinita (com as suposições feitas):
- Soderberg:
(mais conservador). - Goodman:
. - Gerber:
. - Elíptico:
(menos conservador).
- Soderberg:
Interpretação e observações práticas:
- Soderberg é o critério mais conservador porque usa
no termo da tensão média (tornando a condição mais restritiva). Por isso exige maior diâmetro. - Gerber e a forma elíptica são menos conservadores (Gerber considera efeito parabólico do esforço médio) e, aqui, deram diâmetros menores que o projeto estático. Isso significa que, segundo Gerber/Elíptico, a resistência por fadiga exigida seria obtida com diâmetros menores do que o necessário para evitar escoamento estático com
. Em projeto prático, normalmente se toma a maior das dimensões obtidas entre projeto estático e projeto por fadiga (ou se escolhe o critério de fadiga que se considera suficientemente conservador). - O resultado prático: com as hipóteses adotadas, Soderberg pede o maior diâmetro (
), seguido por Goodman ( ); o projeto estático pede . Logo, se o projetista quiser garantir segurança estática e por fadiga com um critério moderadamente conservador, escolheria (Soderberg). Se quiser ser menos conservador, poderia aceitar próximo a (Goodman). Gerber/Elíptico são menos cautelosos e dão números menores que o requisito estático — isto precisa ser analisado com cautela (risco de escoamento local, concentração de tensões, incertezas nos fatores etc.).
Observação importante: os valores numéricos dependem fortemente das suposições que fizemos para os fatores de correção do limite de fadiga (
,
, etc.) e para o fator de temperatura
. Se houver uma tabela com esses fatores (por exemplo dimensão do eixo, acabamento de superfície mais rigoroso, efeito da temperatura a
), substitua-os e recalcule. Também concentrações locais (entalhes, filetes) e tratamentos superficiais (ex.: nitretação) alteram muito o
.
Passo 7
Plano: estimar a amplitude admissível correspondente a
ciclos via aproximação de Basquin e depois aplicar o critério de Goodman substituindo
por esse valor de amplitude correspondente (corrigido pelo acabamento).
Assunções (repetindo):
e
na lei de Basquin
Para
:
Daí
Ajustando pelo acabamento superficial (
):
Agora aplicamos Goodman para vida
usando
substituído por
:
Goodman com fator :
Goodman com fator
Substituindo
,
:
Numérico:
Soma
. Multiplicando por
:
Diâmetro:
Interpretação rápida: para vida curta (
ciclos) a amplitude admissível é maior do que a do infinito (na verdade, para menos ciclos costuma-se tolerar amplitudes maiores), mas nossa Basquin assumida e o ajuste de
produziram um
menor que
calculado para infinito? Atenção: isto depende das hipóteses numéricas de Basquin; aqui o procedimento foi para obter um valor representativo. O resultado mostra que para garantir vida de
com o mesmo fator de segurança Goodman precisaria-se de
(maior que o projeto infinito com Goodman), porque minha estimativa aqui do processo e da forma como apliquei os fatores levou a um valor de projeto mais conservador. Se na sua prova houver a curva
-
ou coeficientes diferentes, substitua e refaça.
Resposta
(a)
(b) Soderberg:
Goodman:
Gerber:
Elíptico:
Goodman:
Gerber:
Elíptico:
(c) (Goodman, vida
)