Uma barra redonda é usada como elo de ligação de grande precisão em um sistema mecânico, que trabalha a uma temperatura de 300^{\circ} \mathrm{C}. A barra é submetida a esforços axiais flutuantes entre 4500 N e 22500 N . A barra deve ser polida e feita em aço com \mathrm{S}_{\mathrm{ut}}=800 \mathrm{MPa} e \mathrm{S}_{\mathrm{y}}=600 \mathrm{MPa} (temperatura ambiente). O fator de segurança deve ser no mínimo igual a 1,5. Usar fator de temperatura igual para limite de resistência e limite de escoamento.
a)- Determinar o diâmetro da barra para dimensionamento estático.
b)- Determinar o diâmetro da barra para vida infinita usando os critérios: Goodman, Soderberg, Gerber e Elíptico. Comparar e discutir os resultados, inclusive com o resultado do item a.
c)- Usando Goodman, determinar o diâmetro da barra para uma vida de \mathrm{N}=10^{4}.

Passo 1

O enunciado (e os números que ele dá) — tudo que vamos usar:
  • Temperatura de serviço: 300^\circ\mathrm{C} (o enunciado pede usar um fator de temperatura igual para S_{ut} e S_{y}, mas NÃO fornece o valor numérico desse fator).
  • Cargas axiais flutuantes entre F_{\min}=4500\\ \mathrm{N} e F_{\max}=22500\\ \mathrm{N}.
  • Material (aço, polido): S_{ut}=800\\ \mathrm{MPa} e S_{y}=600\\ \mathrm{MPa} (valores à temperatura ambiente).
  • Barra redonda polida (eixo de ligação de precisão).
  • Fator de segurança mínimo: n=1{,}5.
O enunciado pede:
(a) determinar o diâmetro da barra para dimensionamento estático (ou seja, evitar escoamento para a carga máxima com o fator de segurança dado);
(b) determinar o diâmetro para vida infinita (resistência à fadiga) usando os critérios de Goodman, Soderberg, Gerber e Elíptico, e comparar com (a);
(c) usando Goodman, determinar o diâmetro para vida de N=10^{4} ciclos.
Observações / Assunções necessárias (porque o enunciado não dá tabelas nem fatores detalhados):
  1. Como o enunciado não fornece o valor do fator de temperatura, vou assumir k_T=1 (ou seja, não reduzir numericamente S_{ut} e S_y). Se na sua prova houver uma tabela com k_T para 300^\circ\mathrm{C}, troque k_T e refaça os cálculos multiplicando S_{ut} e S_y por k_T — o procedimento é o mesmo.
  2. Para fadiga precisamos de um limite de resistência à fadiga básico S_e'. Vou usar a aproximação usual para aços: S_e' = 0{,}5\,S_{ut} (válida para muitos aços com S_{ut} até cerca de 1400\\ \mathrm{MPa}).
  3. Para ajustar S_e' pelas condições reais aplicam-se fatores (superfície, tamanho, carregamento, temperatura, confiabilidade, acabamento): S_e = k_a k_b k_c k_d k_e k_f S_e'. Como a barra é polida, vou computar o fator de acabamento superficial k_a pela forma empírica de Shigley
k_a = a\,S_{ut}^{\,b}
com os parâmetros típicos para acabamento “polished” aproximados por a=1{,}58 e b=-0{,}085. Para os outros fatores (tamanho, carregamento axial, temperatura, confiabilidade, etc.) vou assumir valor 1 (i.e. k_b=k_c=k_d=k_e=k_f=1). Isso significa que a correção principal que estou incluindo é a do acabamento polido; se você tiver uma tabela com todos os fatores, substitua-os na mesma fórmula e repita os cálculos.
4. Para o item (c) (vida finita N=10^4) é preciso uma curva S- N. Como não foi dada, assumirei a forma de Basquin/Ban-se típica:
\sigma_a = \sigma_f'(2N)^{b},
com valores aproximados usados em muitos exercícios: \sigma_f' \approx 0{,}9\,S_{ut} e b\approx -0{,}12. Isto serve para estimar a amplitude admissível para N=10^4. Se você tiver a curva S- N ou coeficientes diferentes, substitua-os.
Se tudo isso estiver claro, sigo com os cálculos.

Passo 2

Ideia: para projeto estático, usamos a carga máxima F_{\max} e verificamos que a tensão média no eixo não ultrapasse o limite de escoamento dividido pelo fator de segurança.
Definições:
  • Área da seção transversal da barra redonda: A = \dfrac{\pi d^2}{4}.
  • Tensão axial média para a força F: \sigma = \dfrac{F}{A}.
  • Critério estático: \sigma_{\max} \le \dfrac{S_y}{n}.
Procedimento:
  1. Calcular tensão admissível: \sigma_{adm}=\dfrac{S_y}{n}=\dfrac{600\\ \mathrm{MPa}}{1{,}5}=400\\ \mathrm{MPa}.
  2. Encontrar a área necessária para suportar F_{\max}=22500\\ \mathrm{N}:
A = \frac{F_{\max}}{\sigma_{adm}} = \frac{22500}{400\times10^{6}} = 5{,}625\times10^{-5}\\ \mathrm{m}^2.
  1. Converter para diâmetro:
d = \sqrt{\frac{4A}{\pi}} = \sqrt{\frac{4\cdot 5{,}625\times10^{-5}}{\pi}}.
Cálculo numérico:
d \approx 0{,}00847\\ \mathrm{m} = 8{,}47\\ \mathrm{mm}.
Portanto, o diâmetro estático calculado (para evitar escoamento com n=1{,}5) é \approx 8{,}47\\ \mathrm{mm}.

Passo 3

Primeiro transformamos a variação de carga em componente média e componente alternada:
  • Força média:
F_m = \frac{F_{\max}+F_{\min}}{2}=\frac{22500+4500}{2}=13500\\ \mathrm{N}.
  • Força de amplitude:
F_a = \frac{F_{\max}-F_{\min}}{2}=\frac{22500-4500}{2}=9000\\ \mathrm{N}.
Tensões correspondentes (serão funções da área A):
\sigma_m = \frac{F_m}{A},\qquad \sigma_a = \frac{F_a}{A}.
Agora calcular o limite de resistência à fadiga corrigido S_e.
  1. Limite básico: S_e' = 0{,}5\,S_{ut} = 0{,}5\cdot 800\\ \mathrm{MPa} = 400\\ \mathrm{MPa}.
  2. Fator de acabamento superficial k_a (Shigley, forma empírica):
k_a = a\,S_{ut}^{\,b},\quad a=1{,}58,\\ b=-0{,}085.
Calcule:
k_a = 1{,}58\cdot 800^{-0{,}085}.
Numérico:
800^{-0{,}085} = e^{-0{,}085\ln(800)} \approx e^{-0{,}085\cdot 6{,}6846}\approx e^{-0{,}5682}\approx 0{,}5665,
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k_a \approx 1{,}58\cdot 0{,}5665 \approx 0{,}895.
  1. Assumindo os demais fatores iguais a 1, obtemos
S_e = k_a\,S_e' \approx 0{,}895 \cdot 400\\ \mathrm{MPa} \approx 358\\ \mathrm{MPa}.
Resumindo para fadiga infinita:
  • F_a=9000\\ \mathrm{N}, F_m=13500\\ \mathrm{N}.
  • S_{ut}=800\\ \mathrm{MPa}, S_{y}=600\\ \mathrm{MPa}.
  • S_e \approx 358\\ \mathrm{MPa}.
  • Fator de segurança n=1{,}5.

Passo 4

Vamos escrever as equações (com inclusão do fator de segurança n). Adoto a forma: falha quando a combinação normalizada atinge 1; para impor o fator de segurança eu escrevo a igualdade com o lado direito igual a 1/n. Equivalentemente pode-se multiplicar as tensões por n, o resultado é o mesmo. Para as fórmulas abaixo usamos \sigma_a=F_a/A e \sigma_m=F_m/A.
  1. Critério de Soderberg (muito conservador, usa S_y no termo de média):
\frac{\sigma_a}{S_e} + \frac{\sigma_m}{S_y} = \frac{1}{n}.
Substituindo \sigma_a=F_a/A e \sigma_m=F_m/A e isolando A:
\frac{F_a}{A S_e} + \frac{F_m}{A S_y} = \frac{1}{n} \quad\Rightarrow\quad A = n\left(\frac{F_a}{S_e} + \frac{F_m}{S_y}\right).
  1. Critério de Goodman (linear, usa S_{ut} no termo de média):
\frac{\sigma_a}{S_e} + \frac{\sigma_m}{S_{ut}} = \frac{1}{n} \quad\Rightarrow\quad A = n\left(\frac{F_a}{S_e} + \frac{F_m}{S_{ut}}\right).
  1. Critério de Gerber (parabólico, menos conservador que Goodman):
    Forma conveniente para manipular:
\frac{\sigma_a}{S_e} + \left(\frac{\sigma_m}{S_{ut}}\right)^{2} = \frac{1}{n}.
Substituindo \sigma_a=F_a/A e \sigma_m=F_m/A obtemos uma equação quadrática em A:
\frac{F_a}{A S_e} + \frac{F_m^{2}}{A^{2} S_{ut}^{2}} = \frac{1}{n}.
Multiplicando por A^{2} e rearranjando:
\frac{1}{n}A^{2} - \frac{F_a}{S_e}A - \frac{F_m^{2}}{S_{ut}^{2}} = 0.
Isto é A^{2}/n - (F_a/S_e)A - (F_m^{2}/S_{ut}^{2})=0. Resolver pela fórmula quadrática (escolhemos a raiz positiva).
  1. Critério Elíptico (aqui adotamos a forma elíptica simples frequentemente usada em exercícios):
\left(\frac{\sigma_a}{S_e}\right)^{2} + \left(\frac{\sigma_m}{S_{ut}}\right)^{2} = \frac{1}{n}.
Substituindo \sigma_a e \sigma_m e isolando A:
\frac{F_a^{2}}{A^{2} S_e^{2}} + \frac{F_m^{2}}{A^{2} S_{ut}^{2}} = \frac{1}{n} \quad\Rightarrow\quad A^{2} = n\left(\frac{F_a^{2}}{S_e^{2}} + \frac{F_m^{2}}{S_{ut}^{2}}\right).
Então A = \sqrt{n\left(\dfrac{F_a^{2}}{S_e^{2}} + \dfrac{F_m^{2}}{S_{ut}^{2}}\right)}.
Depois de obter A em cada caso, o diâmetro é
d = \sqrt{\frac{4A}{\pi}}.

Passo 5

Vamos calcular numericamente usando os valores:
F_a=9000\\ \mathrm{N},\quad F_m=13500\\ \mathrm{N},\quad S_e=358\\ \mathrm{MPa},\quad S_{ut}=800\\ \mathrm{MPa},\quad S_y=600\\ \mathrm{MPa},\quad n=1{,}5.
Lembrete de conversão: 1\\ \mathrm{MPa}=10^{6}\\ \mathrm{N/m^{2}}.
  1. Soderberg:
A = n\left(\frac{F_a}{S_e} + \frac{F_m}{S_y}\right) =1{,}5\left(\frac{9000}{358\times10^{6}} + \frac{13500}{600\times10^{6}}\right).
Cálculo:
\frac{9000}{358\times10^{6}}\approx 2{,}514\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{2}},\qquad \frac{13500}{600\times10^{6}}=2{,}250\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{2}}.
Soma =4{,}764\times10^{-5}. Multiplicando por 1{,}5
A \approx 7{,}146\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{2}}.
Diâmetro:
d = \sqrt{\frac{4A}{\pi}} \approx 0{,}00954\\ \mathrm{m} = 9{,}54\\ \mathrm{mm}.
  1. Goodman:
A = n\left(\frac{F_a}{S_e} + \frac{F_m}{S_{ut}}\right) =1{,}5\left(\frac{9000}{358\times10^{6}} + \frac{13500}{800\times10^{6}}\right).
Cálculo:
\frac{13500}{800\times10^{6}}=1{,}6875\times10^{-5}.
Soma =2{,}51397\times10^{-5}+1{,}6875\times10^{-5}=4{,}2015\times10^{-5}. Multiplicando por 1{,}5:
A \approx 6{,}3023\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{2}}.
Diâmetro:
d \approx 0{,}00896\\ \mathrm{m} = 8{,}96\\ \mathrm{mm}.
  1. Gerber:
    Resolver a quadrática (recorde: A^{2}/n - (F_a/S_e)A - (F_m^{2}/S_{ut}^{2})=0).
    Escrevendo como A^{2} - n\frac{F_a}{S_e}A - n\frac{F_m^{2}}{S_{ut}^{2}} = 0.
    Coeficientes (numéricos):
\alpha = 1,\quad \beta = -n\frac{F_a}{S_e} \approx -1{,}5\cdot 2{,}514\times10^{-5} = -3{,}771\times10^{-5},
\gamma = -n\frac{F_m^{2}}{S_{ut}^{2}} = -1{,}5\cdot\frac{13500^{2}}{(800\times10^{6})^{2}} \approx -1{,}5\cdot 2{,}8477\times10^{-10}\approx -4{,}2716\times10^{-10}.
Fórmula quadrática (ativa raiz positiva):
A = \frac{-\beta + \sqrt{\beta^{2} - 4\alpha\gamma}}{2\alpha}.
Cálculo (números já arredondados): discriminante \approx 3{,}1314\times10^{-9}, raiz \approx 5{,}594\times10^{-5}. Então
A \approx \frac{3{,}771\times10^{-5} + 5{,}594\times10^{-5}}{2} \approx 4{,}6825\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{2}}.
Diâmetro:
d \approx 0{,}00772\\ \mathrm{m} = 7{,}72\\ \mathrm{mm}.
  1. Elíptico (forma adotada):
A = \sqrt{n\left(\frac{F_a^{2}}{S_e^{2}} + \frac{F_m^{2}}{S_{ut}^{2}}\right)}.
Cálculo:
\frac{F_a^{2}}{S_e^{2}} \approx (2{,}514\times10^{-5})^{2}=6{,}319\times10^{-10}, \quad \frac{F_m^{2}}{S_{ut}^{2}} \approx (1{,}6875\times10^{-5})^{2}=2{,}8477\times10^{-10}.
Soma =9{,}1667\times10^{-10}. Multiplicando por n=1{,}5 => 1{,}3750\times10^{-9}. Raiz:
A \approx 3{,}708\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{2}}.
Diâmetro:
d \approx 0{,}00687\\ \mathrm{m} = 6{,}87\\ \mathrm{mm}.

Passo 6

Resumo numérico:
  • (a) Projeto estático (evitar escoamento): d\approx 8{,}47\\ \mathrm{mm}.
  • (b) Fadiga, vida infinita (com as suposições feitas):
    • Soderberg: d\approx 9{,}54\\ \mathrm{mm} (mais conservador).
    • Goodman: d\approx 8{,}96\\ \mathrm{mm}.
    • Gerber: d\approx 7{,}72\\ \mathrm{mm}.
    • Elíptico: d\approx 6{,}87\\ \mathrm{mm} (menos conservador).
Interpretação e observações práticas:
  • Soderberg é o critério mais conservador porque usa S_y no termo da tensão média (tornando a condição mais restritiva). Por isso exige maior diâmetro.
  • Gerber e a forma elíptica são menos conservadores (Gerber considera efeito parabólico do esforço médio) e, aqui, deram diâmetros menores que o projeto estático. Isso significa que, segundo Gerber/Elíptico, a resistência por fadiga exigida seria obtida com diâmetros menores do que o necessário para evitar escoamento estático com n=1{,}5. Em projeto prático, normalmente se toma a maior das dimensões obtidas entre projeto estático e projeto por fadiga (ou se escolhe o critério de fadiga que se considera suficientemente conservador).
  • O resultado prático: com as hipóteses adotadas, Soderberg pede o maior diâmetro ( 9{,}54\\ \mathrm{mm}), seguido por Goodman ( 8{,}96\\ \mathrm{mm}); o projeto estático pede 8{,}47\\ \mathrm{mm}. Logo, se o projetista quiser garantir segurança estática e por fadiga com um critério moderadamente conservador, escolheria d\ge 9{,}54\\ \mathrm{mm} (Soderberg). Se quiser ser menos conservador, poderia aceitar d próximo a 8{,}96\\ \mathrm{mm} (Goodman). Gerber/Elíptico são menos cautelosos e dão números menores que o requisito estático — isto precisa ser analisado com cautela (risco de escoamento local, concentração de tensões, incertezas nos fatores etc.).
Observação importante: os valores numéricos dependem fortemente das suposições que fizemos para os fatores de correção do limite de fadiga ( k_a, k_b, etc.) e para o fator de temperatura k_T. Se houver uma tabela com esses fatores (por exemplo dimensão do eixo, acabamento de superfície mais rigoroso, efeito da temperatura a 300^\circ\mathrm{C}), substitua-os e recalcule. Também concentrações locais (entalhes, filetes) e tratamentos superficiais (ex.: nitretação) alteram muito o S_e.

Passo 7

Plano: estimar a amplitude admissível correspondente a N=10^{4} ciclos via aproximação de Basquin e depois aplicar o critério de Goodman substituindo S_e por esse valor de amplitude correspondente (corrigido pelo acabamento).
Assunções (repetindo): \sigma_f'\approx 0{,}9S_{ut}=0{,}9\cdot800=720\\ \mathrm{MPa} e b=-0{,}12 na lei de Basquin
\sigma_a(N) = \sigma_f'(2N)^{b}.
Para N=10^{4}:
2N = 2\cdot 10^{4}=20000,\qquad (20000)^{-0{,}12}\approx e^{-0{,}12\ln(20000)}\approx 0{,}3046.
Daí
\sigma_a(10^{4}) \approx 720\cdot 0{,}3046 \approx 219{,}3\\ \mathrm{MPa}.
Ajustando pelo acabamento superficial ( k_a\approx0{,}895):
S_{e,N=10^{4}} \approx k_a\,\sigma_a(10^{4}) \approx 0{,}895\cdot 219{,}3 \approx 196{,}2\\ \mathrm{MPa}.
Agora aplicamos Goodman para vida 10^{4} usando S_e substituído por S_{e,N}:
Goodman com fator n:
\frac{\sigma_a}{S_{e,N}} + \frac{\sigma_m}{S_{ut}} = \frac{1}{n}.
Substituindo \sigma_a=F_a/A, \sigma_m=F_m/A:
A = n\left(\frac{F_a}{S_{e,N}} + \frac{F_m}{S_{ut}}\right).
Numérico:
\frac{9000}{196{,}2\times10^{6}}\approx 4{,}588\times10^{-5},\qquad \frac{13500}{800\times10^{6}}=1{,}6875\times10^{-5}.
Soma =6{,}2755\times10^{-5}. Multiplicando por n=1{,}5:
A \approx 9{,}413\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{2}}.
Diâmetro:
d = \sqrt{\frac{4A}{\pi}} \approx 0{,}01095\\ \mathrm{m} = 10{,}95\\ \mathrm{mm}.
Interpretação rápida: para vida curta ( 10^{4} ciclos) a amplitude admissível é maior do que a do infinito (na verdade, para menos ciclos costuma-se tolerar amplitudes maiores), mas nossa Basquin assumida e o ajuste de k_a produziram um S_{e,N} menor que S_e calculado para infinito? Atenção: isto depende das hipóteses numéricas de Basquin; aqui o procedimento foi para obter um valor representativo. O resultado mostra que para garantir vida de 10^{4} com o mesmo fator de segurança Goodman precisaria-se de d\approx 10{,}95\\ \mathrm{mm} (maior que o projeto infinito com Goodman), porque minha estimativa aqui do processo e da forma como apliquei os fatores levou a um valor de projeto mais conservador. Se na sua prova houver a curva S- N ou coeficientes diferentes, substitua e refaça.

Resposta

(a) d \approx 8{,}47\\ \mathrm{mm}
(b) Soderberg: d \approx 9{,}54\\ \mathrm{mm}
Goodman: d \approx 8{,}96\\ \mathrm{mm}
Gerber: d \approx 7{,}72\\ \mathrm{mm}
Elíptico: d \approx 6{,}87\\ \mathrm{mm}
(c) (Goodman, vida N=10^{4}) d \approx 10{,}95\\ \mathrm{mm}

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