Uma barra retangular é cortada de uma placa de aço 1018 laminada a frio (CD). A barra tem 80 mm de largura e 10 mm de espessura, com um furo central de 8 mm . A Barra é carregada com uma força axial alternada F uniformemente distribuída na largura da seção. Baseado em um fator de segurança \mathrm{n}=2, calcular a carga F (máxima) que pode ser aplicada à barra para que esta tenha vida infinita. Confiabilidade 90 \% e temperatura 400^{\circ} \mathrm{C}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda).
  • Geometria da barra:
    • largura (comprimento da seção transversal na direção do carregamento): 80\\ \mathrm{mm}.
    • espessura: 10\\ \mathrm{mm}.
    • furo central de diâmetro: 8\\ \mathrm{mm}.
  • Material: aço AISI 1018 laminado a frio (CD).
  • Condições de carregamento: força axial alternada F aplicada uniformemente na largura da seção (ou seja, barra submetida a tensão axial alternada totalmente reversa, supondo média nula).
  • Condições de projeto:
    • vida infinita (queremos atender ao limite de fadiga).
    • fator de segurança: n=2.
    • confiabilidade: 90\%.
    • temperatura de serviço: 400^\circ\mathrm{C}.
  • Pedido: calcular a carga máxima F (amplitude máxima da força alternada) que garante vida infinita sob as condições acima.

Passo 2

Primeiro passo prático: calcular a área líquida da seção transversal (área que realmente suporta a força), subtraindo a área do furo da área bruta da placa.
  • Área bruta da seção retangular: A_{\text{bruta}} = 80\\ \mathrm{mm}\times 10\\ \mathrm{mm} = 800\\ \mathrm{mm}^2.
  • Área do furo (círculo de diâmetro 8\\ \mathrm{mm}): A_{\text{furo}} = \frac{\pi d^2}{4} = \frac{\pi\,(8\\ \mathrm{mm})^2}{4} = 16\pi\\ \mathrm{mm}^2 \approx 50{,}265\\ \mathrm{mm}^2.
  • Área líquida (efetiva) da seção: A_{\text{net}} = A_{\text{bruta}} - A_{\text{furo}} = 800 - 16\pi \approx 749{,}735\\ \mathrm{mm}^2.

Passo 3

Conceito de vida infinita e resistência à fadiga: para solicitar vida infinita sob carga alternada totalmente reversa (média zero), usamos o limite de fadiga corrigido S_e. A regra usual para a estimativa do limite de fadiga de referência de aços é:
S'_e \approx 0{,}5\,S_u,
onde S_u é a resistência à tração última do material. Essa é a estimativa de referência para peça sem defeitos e com acabamento razoável.
Vou adotar um valor típico para aço 1018 laminado a frio: S_u \approx 440\\ \mathrm{MPa}. (Esse valor é uma tabela típica para 1018 CD; se você tiver tabela da sua matéria/folha de dados, use aquele S_u.)
Logo:
S'_e = 0{,}5\,S_u = 0{,}5\times 440\\ \mathrm{MPa} = 220\\ \mathrm{MPa}.

Passo 4

O limite de fadiga real S_e é obtido aplicando fatores corretivos ao S'_e:
S_e = k_a\,k_b\,k_c\,k_r\,k_m\,S'_e,
onde:
  • k_a = fator de acabamento superficial (surface).
  • k_b = fator de tamanho.
  • k_c = fator de temperatura.
  • k_r = fator de confiabilidade (reliability).
  • k_m = fatores diversos/misc (tomarei k_m=1 se não houver outros efeitos).
Agora vou estimar cada fator, explicando a fórmula/motivação.

Passo 5

Fator de acabamento superficial k_a.
Uma expressão prática (usada em Shigley/Peterson) é
k_a = a\,S_u^{\,b},
onde os parâmetros a,b dependem da qualidade superficial. Para superfície “cold-drawn / machined” um par típico é a=4{,}51, b=-0{,}265. Substituindo S_u=440\\ \mathrm{MPa}:
k_a = 4{,}51 \times (440)^{-0{,}265} \approx 0{,}900.
Interpretação: acabamento não é perfeito (comparado a polido), então reduziu-se um pouco o limite de fadiga.

Passo 6

Fator de tamanho k_b.
O efeito de tamanho reduz o limite de fadiga com o aumento das dimensões efetivas. Uma expressão prática para componentes com dimensão característica d (em mm) é
k_b \approx 1{,}189\,d^{-0{,}097}.
Para seção retangular sob tensão axial a dimensão característica pode ser tomada como a espessura d=10\\ \mathrm{mm}. Assim:
k_b = 1{,}189\times (10)^{-0{,}097} \approx 0{,}951.

Passo 7

Fator de temperatura k_c.
A temperatura de serviço reduz a resistência à fadiga. Para 400^\circ\mathrm{C} (valor relativamente alto) escolho de forma conservadora
k_c \approx 0{,}90.
(Se tiver uma curva tabela precisa de k_c para o material, use-a; aqui uso um valor típico/conservador.)

Passo 8

Fator de confiabilidade k_r.
Para converter o limite de fadiga para uma confiabilidade diferente de 50\%, usa-se um fator de confiabilidade. Para confiabilidade 90\% um valor padrão é
k_r \approx 0{,}897.
(Essa tabela padrão dá k_r próximos a 0{,}897 para 90\%.)

Passo 9

Calcular o limite de fadiga corrigido S_e.
Usando k_m=1 e os valores estimados:
S_e = k_a\,k_b\,k_c\,k_r\,S'_e = 0{,}900\times 0{,}951\times 0{,}90\times 0{,}897 \times 220\\ \mathrm{MPa}.
Faço a conta em etapas:
0{,}900\times 0{,}951 = 0{,}8559,
0{,}8559\times 0{,}90 = 0{,}7703,
0{,}7703\times 0{,}897 = 0{,}6913,
S_e = 0{,}6913\times 220\\ \mathrm{MPa} \approx 152{,}0\\ \mathrm{MPa}.

Passo 10

Aplicar o fator de segurança para obter a tensão alternada admissível.
Para segurança n=2 a tensão alternada admissível (amplitude) é
\sigma_{a,\text{adm}} = \frac{S_e}{n} = \frac{152{,}0\\ \mathrm{MPa}}{2} = 76{,}0\\ \mathrm{MPa}.
Interpretação: a tensão alternada local não deve exceder 76{,}0\\ \mathrm{MPa} para garantir vida infinita com as correções adotadas.

Passo 11

Efeito da concentração de tensão (furo): distinção entre K_t e K_f.
  • K_t é o fator geométrico de concentração elástico (teórico), para um furo circular central em placa infinita sob tração K_t=3{,}0. Para a razão w/d=80/8=10 esse valor está próximo de 3{,}0 (valor clássico do furo em placa).
  • K_f é o fator de concentração de fadiga efetivo: K_f = 1 + q\,(K_t-1), onde q é a sensibilidade ao entalhe (0 ≤ q ≤ 1). Para aços comuns com entalhes agudos, q costuma ser alto (próximo de 0{,}9). Vou adotar um valor conservador porém realista q=0{,}9.
Assim:
K_t = 3{,}0,\qquad K_f = 1 + 0{,}9(3{,}0-1) = 1 + 0{,}9\times 2 = 2{,}8.
Observação: essa escolha ( K_f=2{,}8 ) é conservadora e consistente com entalhe de furo perfurado; se a borda do furo for chanfrada/polida o q cai e K_f cai também.

Passo 12

Condição de segurança local e cálculo da força máxima F_{\max}.
A tensão alternada nominal (baseada na área líquida) é
\sigma_{a,\text{nom}} = \frac{F}{A_{\text{net}}}.
A tensão alternada máxima local (no entalhe) é K_f\,\sigma_{a,\text{nom}}. A condição de projeto é:
K_f\,\frac{F_{\max}}{A_{\text{net}}} \le \sigma_{a,\text{adm}}.
Logo:
F_{\max} = \frac{\sigma_{a,\text{adm}}\;A_{\text{net}}}{K_f}.
Substituindo valores numéricos:
F_{\max} = \frac{76{,}0\\ \mathrm{MPa}\times 749{,}735\\ \mathrm{mm}^2}{2{,}8}.
Lembrando que 1\\ \mathrm{MPa}=1\\ \mathrm{N/mm}^2, então o resultado virá em newtons:
F_{\max} \approx \frac{76{,}0\times 749{,}735}{2{,}8}\\ \mathrm{N} \approx 20\,353\\ \mathrm{N} \approx 20{,}35\\ \mathrm{kN}.

Passo 13

Comentário final (sobre precisão e hipóteses — importante na prova):
  • Usei valores típicos tabelados para S_u de 1018 CD e fatores empíricos para k_a,k_b,k_c,k_r. Em prova, se forem fornecidos valores/tabelas, use esses.
  • A escolha K_t=3{,}0 (furo em placa) e q=0{,}9 foi explicada; valores mais conservadores (ex.: q=1 ou K_t ligeiramente maior) reduzirão F_{\max}. Por exemplo, se K_f fosse 3{,}0 (pior caso), F_{\max} seria F_{\max,\text{pior}} = \frac{76{,}0\times 749{,}735}{3{,}0}\approx 18{,}979\\ \mathrm{N}\approx 19{,}0\\ \mathrm{kN}.
  • Se tiver na sua prova a tabela de fatores (superfície, temperatura, confiabilidade) ou o S_u diferente, replique os cálculos substituindo esses números — o procedimento é o mesmo.

Resposta

F_{\max}\approx 20{,}35\\ \mathrm{kN}

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