A barra BC de seção cheia tem diâmetro de 30 mm e é feita de um alumínio para o qual a tensão de cisalhamento admissível é de 25 MPa . A barra AB é vazada e tem um diâmetro externo de 25 mm ; ela é feita de um latão para o qual a tensão de cisalhamento admissível é de 50 MPa . Determine (a) o maior diâmetro interno da barra AB para o qual o coeficiente de segurança seja o mesmo para cada barra e (b) o maior torque que pode ser aplicado em A. (Resposta: (a) 15,18 \mathrm{~mm}. (b) 132,5 \mathrm{Nm} )

Passo 1

O enunciado dá duas barras em série sujeitas ao mesmo torque aplicado em A. A barra BC é maciça, de diâmetro \,30\text{ mm}\,, feita de alumínio com tensão de cisalhamento admissível \,25\text{ MPa}. A barra AB é tubular, com diâmetro externo \,25\text{ mm}\,, de latão com tensão de cisalhamento admissível \,50\text{ MPa}, e diâmetro interno \,d_i a determinar. Precisamos (a) achar o maior d_i que iguale o coeficiente de segurança em ambas e (b) calcular o maior torque que pode ser aplicado em A. Vamos usar as fórmulas de torção para seção circular.

Passo 2

Para um eixo circular maciço de diâmetro d, o momento polar de inércia é
J_{\rm mac} = \frac{\pi\,d^4}{32}
e a tensão de cisalhamento máxima sob torque T é
\tau_{\max} = \frac{T\,(d/2)}{J_{\rm mac}}.
Para um tubo de diâmetro externo d_o e interno d_i,
J_{\rm tub} = \frac{\pi\,(d_o^4 - d_i^4)}{32}, \qquad \tau_{\max} = \frac{T\,(d_o/2)}{J_{\rm tub}}.
O torque limite que provoca \tau_{\max}=\tau_{\rm adm} é
T_{\rm lim} = \tau_{\rm adm}\,\frac{J}{(d/2)} = 2\,\tau_{\rm adm}\,\frac{J}{d}.

Passo 3

Para igualar o coeficiente de segurança das duas barras, fazemos seus torques limites iguais: T_{\rm lim}^{\rm tub}=T_{\rm lim}^{\rm mac}. Assim, com \tau_{\rm adm,br}=50\text{ MPa}, d_o=25\text{ mm} e \tau_{\rm adm,al}=25\text{ MPa}, d_s=30\text{ mm}:
\tau_{\rm adm,br}\,\frac{\pi\,(d_o^4 - d_i^4)}{16\,d_o} \;=\; \tau_{\rm adm,al}\,\frac{\pi\,d_s^3}{16}.
Cancelando \pi/16 e inserindo valores (tudo em mm e MPa),
50\,\frac{25^4 - d_i^4}{25} =25\cdot30^3 \;\;\Longrightarrow\;\; 25^4 - d_i^4 =337500 \;\;\Longrightarrow\;\; d_i^4 =390625 -337500 =53125.
Logo
d_i = \sqrt{\sqrt{53125}} \approx15{,}18\text{ mm}.

Passo 4

O maior torque aplicado em A é esse mesmo limite, que podemos calcular em qualquer barra. Usando a barra maciça de alumínio:
T_{\max} = \tau_{\rm adm,al}\,\frac{\pi\,d_s^4}{32}\bigg/\frac{d_s}{2} = \tau_{\rm adm,al}\,\frac{\pi\,d_s^3}{16}.
Substituindo \tau_{\rm adm,al}=25\times10^6\text{ Pa} e d_s=0,03\text{ m}:
T_{\max} =25\times10^6\cdot\frac{\pi\,(0,03)^3}{16} \approx132{,}5\text{ N\cdotm}.

Resposta

(a) 15{,}18\text{ mm}
(b) 132{,}5\text{ N\cdotm}

Exercícios relacionados