Considere um sistema com k=4000 \mathrm{~N} / \mathrm{m}, m=10 \mathrm{~kg} e c=200 \mathrm{~N} . \mathrm{s} / \mathrm{m}. Determine a resposta em regime permanente, as respostas totais do sistema sob a força harmônica F(t)=200 \cos (20 t) N e o fator de amplificação, para as condições iniciais:
a) x_{0}=0,1 \mathrm{~m} e \dot{x}_{0}=0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.
b) x_{0}=0,1 \mathrm{~m} e \dot{x}_{0}=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.

Passo 1

O enunciado descreve um oscilador amortecido sujeito a uma força harmônica F(t)=F_{0}\cos(\omega t), com m=10, \mathrm{kg}, c=200, \mathrm{N\cdot s/m}, k=4000, \mathrm{N/m} e F_{0}=200, \mathrm{N}, \omega=20, \mathrm{rad/s}. Vamos calcular a resposta em regime permanente (solução particular), depois a solução homogênea amortecida e montar a resposta total x(t)=x_{h}(t)+x_{p}(t). Em seguida aplicamos as condições iniciais para os casos a) e b). Por fim, obtemos o fator de amplificação.

Passo 2

Calculamos a frequência natural não amortecida \omega_{n}, o fator de amortecimento \zeta e a frequência amortecida \omega_{d}:
\omega_{n}=\sqrt{\frac{k}{m}}=\sqrt{\frac{4000}{10}}=20\\ \mathrm{rad/s},
\zeta=\frac{c}{2m\omega_{n}}=\frac{200}{2\cdot10\cdot20}=0.5,
\omega_{d}=\omega_{n}\sqrt{1-\zeta^{2}}=20\sqrt{1-0.5^{2}}=20\sqrt{0.75}\approx17.32\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 3

A resposta em regime permanente para força F_{0}\cos(\omega t) tem amplitude
X=\frac{F_{0}/k}{\sqrt{(1-r^{2})^{2}+(2\zeta r)^{2}}},
onde r=\omega/\omega_{n}=20/20=1. Assim
X=\frac{200/4000}{\sqrt{(1-1)^{2}+(2\cdot0.5\cdot1)^{2}}} =\frac{0.05}{\sqrt{(1)^{2}}}=0.05\\ \mathrm{m}.
O defasagem é
\varphi=\arctan\!\biggl(\frac{2\zeta r}{1-r^{2}}\biggr) =\arctan\!\bigl(\infty\bigr)=\frac{\pi}{2}.

Passo 4

Logo a solução particular (regime permanente) é
x_{p}(t)=X\cos\bigl(\omega t-\varphi\bigr) =0.05\cos\!\bigl(20t-\tfrac{\pi}{2}\bigr).

Passo 5

A solução geral é
x(t)=x_{h}(t)+x_{p}(t), \quad x_{h}(t)=e^{-\zeta\omega_{n}t}\bigl(A\cos(\omega_{d}t)+B\sin(\omega_{d}t)\bigr).

Passo 6

Em t=0:
x(0)=A+x_{p}(0)=A+0= x_{0}, \quad x'(0)=-\zeta\omega_{n}A+\omega_{d}B +x'_{p}(0).
Como x_{p}(0)=0 e x'_{p}(t)=-X\omega\sin(\omega t-\varphi), em t=0
x'_{p}(0)=-0.05\cdot20\sin(-\tfrac{\pi}{2})=1\\ \mathrm{m/s}.

Passo 7

Caso a) x_{0}=0.1, \dot x_{0}=0:
A=0.1.
De x'(0)=0 segue
-10\cdot0.1+17.32\,B+1=0 \;\Rightarrow\; 17.32\,B=0 \;\Rightarrow\; B=0.
Portanto
x_{a}(t) =e^{-10t}\bigl(0.1\cos(17.32\,t)\bigr) +0.05\cos\!\bigl(20t-\tfrac{\pi}{2}\bigr).

Passo 8

Caso b) x_{0}=0.1, \dot x_{0}=10:
A=0.1.
De x'(0)=10 segue
-10\cdot0.1+17.32\,B+1=10 \;\Rightarrow\; 17.32\,B=10 \;\Rightarrow\; B=\frac{10}{17.32}\approx0.577.
Logo
x_{b}(t) =e^{-10t}\bigl(0.1\cos(17.32\,t)+0.577\sin(17.32\,t)\bigr) +0.05\cos\!\bigl(20t-\tfrac{\pi}{2}\bigr).

Passo 9

O fator de amplificação é
H=\frac{X}{F_{0}/k}=\frac{0.05}{200/4000}=1.

Resposta

Em regime permanente:
x_{p}(t)=0.05\cos\!\bigl(20t-\tfrac{\pi}{2}\bigr).
Resposta total para a):
x_{a}(t)=e^{-10t}\bigl(0.1\cos(17.32\,t)\bigr) +0.05\cos\!\bigl(20t-\tfrac{\pi}{2}\bigr).
Resposta total para b):
x_{b}(t)=e^{-10t}\bigl(0.1\cos(17.32\,t)+0.577\sin(17.32\,t)\bigr) +0.05\cos\!\bigl(20t-\tfrac{\pi}{2}\bigr).
Fator de amplificação:
H=1.

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