As barras AC e BC são usadas para suspender a massa de 400 kg .
Se cada barra for feita de um material cuja tensão normal admissível é de 200 MPa , determine o diâmetro mínimo necessário de cada barra.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que ele dá:
  • Pede: o diâmetro mínimo de cada barra (AC e BC) para que não ultrapassem a tensão admissível.
  • Dados fornecidos:
    • massa suspensa: m=400\\ \mathrm{kg}.
    • tensão normal admissível do material: \sigma_{\text{adm}}=200\\ \mathrm{MPa}.
    • as barras são simétricas e cada uma forma \;60^\circ\; com a linha vertical (peguei esse ângulo da figura).
  • Informação implícita usada: aceleração da gravidade g=9,81\\ \mathrm{m/s^2}.
  • Incógnita: diâmetro mínimo de cada barra, d_{\min}.

Passo 2

Estabelecer equilíbrio e encontrar a força axial (tensão) em cada barra:
  • Primeiro fazemos o diagrama de corpo livre no ponto C: a massa exerce o peso W=m g para baixo, e as duas barras exercem forças de tração iguais (por simetria) T ao longo de cada barra.
  • Como as barras são simétricas, as componentes verticais das duas tensões somam o peso: 2T\cos\theta = W.
    • Aqui \theta é o ângulo entre cada barra e a vertical; pela figura \theta=60^\circ.
    • Explicação da fórmula: a componente vertical de uma tensão T é T\cos\theta. Há duas barras, então somamos as duas componentes verticais.
  • Calcule o peso: W = m g = 400\cdot 9{,}81 = 3{,}924\\ \mathrm{kN} = 3{,}924\\ \mathrm{kN}.(vou trabalhar em N: W=3{,}924\cdot 10^{3}\\ \mathrm{N}=3{,}924\\ \mathrm{kN}.)
  • Substituindo em 2T\cos 60^\circ = W: 2T\cdot\cos 60^\circ = W \quad\Rightarrow\quad 2T\cdot 0{,}5 = W \quad\Rightarrow\quad T = W.
    • Intuição: com \theta=60^\circ cada componente vertical é T\cdot 0{,}5, duas delas dão T; portanto T=W.
  • Logo: T = W = 3{,}924\times 10^{3}\\ \mathrm{N}.

Passo 3

Relacionar a força axial T com a tensão normal admissível para achar a área mínima:
  • Definição de tensão normal média numa barra de seção A: \sigma = \frac{T}{A},onde \sigma é a tensão (N/m^2), T é a força axial (N) e A é a área da seção (m^2).
  • Para que a barra seja segura, precisamos \sigma \le \sigma_{\text{adm}}. Assim a área mínima necessária é A_{\min} = \frac{T}{\sigma_{\text{adm}}}.
  • Substituindo valores (lembre que 200\\ \mathrm{MPa}=200\times 10^{6}\\ \mathrm{N/m^2}): A_{\min} = \frac{3{,}924\times 10^{3}}{200\times 10^{6}} = 1{,}962\times 10^{-5}\\ \mathrm{m^2}.
    • Interpretação: essa é a menor área transversal que mantém a tensão abaixo de 200\\ \mathrm{MPa}.

Passo 4

Converter a área mínima em diâmetro para seção circular:
  • Para seção circular a área é \displaystyle A=\frac{\pi d^{2}}{4}, onde d é o diâmetro.
    • Explicação: a área de um círculo de raio r é \pi r^{2}; como d=2r, substituímos r=d/2 e obtemos A=\pi(d/2)^2=\pi d^{2}/4.
  • Isolando d: d = \sqrt{\frac{4A}{\pi}}.
  • Substituindo A_{\min}: d_{\min} = \sqrt{\frac{4\cdot 1{,}962\times 10^{-5}}{\pi}} = \sqrt{2{,}4986\times 10^{-5}} = 4{,}999\times 10^{-3}\\ \mathrm{m}.
  • Convertendo para milímetros: d_{\min} \approx 4{,}999\\ \mathrm{mm}\approx 5{,}00\\ \mathrm{mm}.
    • Observação prática: normalmente escolheríamos um diâmetro comercial imediatamente acima, por exemplo 5{,}0\\ \mathrm{mm} (ou arredondar para o próximo diâmetro comercial disponível).

Resposta

d_{\min}=5{,}00\\ \mathrm{mm}

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