As barras AC e BC são usadas para suspender a massa de 400 kg .
O pino A e B são idênticos feitos de um material com tensão de cisalhamento de ruptura de 300 MPa e estão sujeitos a um cisalhamento duplo. Determine o diâmetro mínimo dos pinos, considerando um fator de segurança igual à 2 .

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar o diâmetro mínimo dos pinos A e B, considerando fator de segurança igual a 2.\n
Dados fornecidos (peguei o ângulo da figura: cada barra forma 60^\circ com a vertical):
m=400\\ \text{kg}
\text{tensão de cisalhamento de ruptura} = 300\\ \text{MPa}ã
\text{pinos sujeitos a cisalhamento duplo}
\text{fator de segurança } N=2ç
Pergunta clara: qual o menor diâmetro d que garante que os pinos não falham em cisalhamento com esse fator de segurança?

Passo 2

Converter massa em força peso (peso = força gravitacional). Vou usar g=9,81\\ \text{m/s}^2.
W = m g = 400\cdot 9,81 = 3924\\ \text{N}.
Isso é a força total vertical que as duas barras devem suportar.

Passo 3

Determinar a tensão nas barras (força em cada barra). As barras AC e BC são simétricas e cada uma faz 60^\circ com a vertical (dados da figura). Somando as componentes verticais:
T\cos 60^\circ + T\cos 60^\circ = W \quad\Rightarrow\quad 2T\cos 60^\circ = W.
Como \cos 60^\circ = 0,5,
2T(0,5)=W \quad\Rightarrow\quad T = W.
Portanto a força de tração em cada barra é
T = 3924\\ \text{N}.
(Observação didática: é comum me confundir com ângulos — aqui o fato de cada barra formar 60^\circ com a vertical faz com que a componente vertical de cada barra seja T\cdot 0,5; duas dessas somam o peso.)

Passo 4

Entender o modo de cisalhamento e o efeito do fator de segurança.\n
  • Cisalhamento duplo significa que o pino é cortado em duas superfícies paralelas; a área total resistindo ao cisalhamento é a soma das duas áreas de seção transversal do pino.\n
  • Área de uma seção circular de diâmetro d é \displaystyle A_{\text{sec}}=\frac{\pi d^{2}}{4}. Em cisalhamento duplo a área total resistente é
A_{\text{total}} = 2\cdot \frac{\pi d^{2}}{4} = \frac{\pi d^{2}}{2}.
  • O material tem tensão de cisalhamento de ruptura \displaystyle 300\\ \text{MPa}. Com fator de segurança N=2 a tensão admissível em cisalhamento é
\tau_{\text{adm}}=\frac{300\\ \text{MPa}}{2}=150\\ \text{MPa} = 150\times 10^{6}\\ \text{N/m}^{2}.

Passo 5

Relacionar força, área e tensão de cisalhamento. A tensão real no pino devido à força T será
\tau = \frac{\text{força aplicada}}{\text{área resistente}} = \frac{T}{A_{\text{total}}} = \frac{T}{\pi d^{2}/2} = \frac{2T}{\pi d^{2}}.çá
Para segurança, exigimos \tau \le \tau_{\text{adm}}. Então:
\frac{2T}{\pi d^{2}} \le \tau_{\text{adm}}.

Passo 6

Isolar d e calcular numericamente. Da desigualdade:
d^{2} \ge \frac{2T}{\pi \tau_{\text{adm}}} \quad\Rightarrow\quad d \ge \sqrt{\frac{2T}{\pi \tau_{\text{adm}}}}.
Substituindo T=3924\\ \text{N} e \tau_{\text{adm}}=150\times 10^{6}\\ \text{N/m}^{2}:
d \ge \sqrt{\frac{2\cdot 3924}{\pi\cdot 150\times 10^{6}}} = \sqrt{\frac{7848}{\pi\cdot 150\cdot 10^{6}}}.
Calculemos passo a passo:
\pi\cdot 150\times 10^{6} \approx 471\,238\,898{,}0\\ \text{N/m}^{2},
\frac{7848}{471\,238\,898{,}0}\approx 1{,}6667\times 10^{-5}\\ \text{m}^{2},
d \ge \sqrt{1{,}6667\times 10^{-5}}\approx 4{,}08\times 10^{-3}\\ \text{m}.

Passo 7

Interpretando o resultado em unidades usuais:
d_{\min} \approx 4{,}08\\ \text{mm}.
Comentário prático: esse é o diâmetro mínimo teórico. Em prática escolhe-se um diâmetro padronizado maior (por exemplo 5\\ \text{mm} ou 6\\ \text{mm}) para folgas, desgaste, tolerâncias e fatores adicionais não modelados aqui.

Resposta

d_{\min}=4{,}08\\ \text{mm}

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