Uma sala de 4 \times 5 \times 7 \mathrm{~m} é aquecida pelo radiador de um sistema de aquecimento a vapor. O radiador a vapor transfere calor a uma taxa de 12.500 \mathrm{KJ} / \mathrm{h} e um ventilador de 200 W e usado para distribur ar quente na sala As perdas de calor da sala sĩo estumadas em uma taxa de cerca de 5.000 \mathrm{KJ} / \mathrm{h}. Se a temperatura inicial do ar da sala e de 12^{\circ} \mathrm{C}, apos 30 minutos, qual sera a temperatura do ar? Considere C_{p}, 1,007 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg} \mathrm{K} . p=1000 \mathrm{Kg} / \mathrm{m}^{3}

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e pede a temperatura do ar após 30 minutos:
  • Dimensões da sala: 4\times5\times7\\ \mathrm{m}.
  • Potência térmica do radiador (taxa de transferência de calor): 12\,500\\ \mathrm{kJ/h}.
  • Ventilador com potência elétrica: 200\\ \mathrm{W}.
  • Perdas de calor da sala: 5\,000\\ \mathrm{kJ/h}.
  • Temperatura inicial do ar: 12^\circ\mathrm{C}.
  • Calor específico do ar (fornecido): c_p = 1{,}007\\ \mathrm{kJ/(kg\;K)}.
  • Densidade fornecida (usar o valor do enunciado): \rho = 1\,000\\ \mathrm{kg/m^3}.
  • Intervalo de tempo: 30\\ \text{min} = 0{,}5\\ \text{h}.
Pergunta: após 30 minutos, qual será a temperatura do ar da sala?

Passo 2

Calcular o volume da sala e a massa de ar contida nela.
  • Volume da sala: use a fórmula do volume de um paralelepípedo retângulo,
V = \text{comprimento}\times\text{largura}\times\text{altura}.
Aplicando os números do enunciado:
V = 4\times5\times7\\ \mathrm{m^3} = 140\\ \mathrm{m^3}.
  • Massa do ar: a massa m é dada por m=\rho V. Usando o valor de \rho fornecido:
m = 1\,000\\ \mathrm{kg/m^3}\times140\\ \mathrm{m^3} = 140\,000\\ \mathrm{kg}.
Explicação didática rápida: massa é quanto “material” existe; densidade diz quantos quilogramas cabem em cada metro cúbico. Multiplicando dá a massa total de ar.

Passo 3

Converter a potência do ventilador para as mesmas unidades das demais taxas (kJ/h).
  • O ventilador tem 200\\ \mathrm{W}. 1\\ \mathrm{W} = 1\\ \mathrm{J/s} = 0{,}001\\ \mathrm{kJ/s}. Para passar para \mathrm{kJ/h}, multiplica-se por 3600\\ \mathrm{s/h}:
200\\ \mathrm{W} = 200\\ \mathrm{J/s} = 0{,}2\\ \mathrm{kJ/s}.
\text{Potência do ventilador em kJ/h} = 0{,}2\\ \mathrm{kJ/s}\times3600\\ \mathrm{s/h} = 720\\ \mathrm{kJ/h}.ê
Agora temos todas as taxas na mesma unidade:
  • Radiador: 12\,500\\ \mathrm{kJ/h}.
  • Ventilador: 720\\ \mathrm{kJ/h}.
  • Perdas: 5\,000\\ \mathrm{kJ/h}.

Passo 4

Calcular a taxa líquida de calor que entra no ar da sala e o calor total adicionado em 30 minutos.
  • Taxa líquida de calor (entrada menos perdas):
\dot{Q}_{\text{líquida}} = 12\,500 + 720 - 5\,000\\ \\ (\mathrm{kJ/h}).í
Calcule:
\dot{Q}_{\text{líquida}} = 12\,500 + 720 - 5\,000 = 8\,220\\ \mathrm{kJ/h}.í
  • Calor total fornecido em 30 minutos ( 0{,}5\\ \mathrm{h}):
Q = \dot{Q}_{\text{líquida}}\times\Delta t = 8\,220\\ \mathrm{kJ/h}\times0{,}5\\ \mathrm{h} = 4\,110\\ \mathrm{kJ}.í
Observação didática: estamos usando uma aproximação de balanço energético em que todo o calor líquido fornecido vai para aquecer o ar (ignoramos troca com paredes, estratificação etc., conforme normalmente pedido em questões básicas).

Passo 5

Relacionar o calor fornecido com a variação de temperatura do ar usando a relação do calor sensível.
  • Fórmula básica:
Q = m c_p \Delta T,
onde:
  • Q é o calor trocado (em \mathrm{kJ}),
  • m é a massa do ar (em \mathrm{kg}),
  • c_p é o calor específico a pressão constante (em \mathrm{kJ/(kg\;K)}),
  • \Delta T é a variação de temperatura (em \mathrm{K} ou ^\circ\mathrm{C}).
Despejando para \Delta T:
\Delta T = \frac{Q}{m c_p}.
Substituindo os valores calculados:
\Delta T = \frac{4\,110\\ \mathrm{kJ}}{140\,000\\ \mathrm{kg}\times1{,}007\\ \mathrm{kJ/(kg\;K)}}.
Calcule o denominador:
m c_p = 140\,000\times1{,}007 = 140\,980\\ \mathrm{kJ/K}.
Agora a divisão:
\Delta T = \frac{4\,110}{140\,980}\\ \mathrm{K} \approx 0{,}02908\\ \mathrm{K}.
Interpretação didática: a variação de temperatura é muito pequena porque a massa de ar (com a densidade fornecida) é enorme, logo precisa-se de muito calor para elevar significativamente a temperatura.

Passo 6

Calcular a temperatura final adicionando a variação à temperatura inicial.
  • Temperatura inicial: 12^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura final:
T_{\text{final}} = 12^\circ\mathrm{C} + \Delta T = 12^\circ\mathrm{C} + 0{,}02908\\ \mathrm{K}.
Como 1\\ \mathrm{K} equivale a 1^\circ\mathrm{C} para variações,
T_{\text{final}} \approx 12{,}029\\ ^\circ\mathrm{C}.
Arredondando para duas casas decimais (prático para provas):
T_{\text{final}} \approx 12{,}03^\circ\mathrm{C}.
Comentário amigável: sei que o resultado é pequeno e pode parecer estranho — isso vem do valor de densidade \rho=1\,000\\ \mathrm{kg/m^3} fornecido no enunciado (que é bem maior que a densidade real do ar, ~ 1{,}2\\ \mathrm{kg/m^3}). Usei exatamente o valor dado no enunciado, como pedido. Se fosse usada a densidade real do ar, o aquecimento seria muito maior.

Resposta

12{,}03^\circ\mathrm{C}

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