Com base ao estudo de construção de gráficos, a função y=x^44+x^33-3 x^2+2 encontrar:
c) Onde são o máximo local e mínimo local. (0,67ptos)

Passo 1

Enunciado: a função dada é y=x^44+x^33-3x^2+2. O conteúdo envolvido aqui é cálculo de derivadas para encontrar pontos críticos e usar o teste da segunda derivada para classificar máximos e mínimos locais.

Passo 2

Para começar, calculamos a derivada primeira y'. Usando as regras de potência e soma, temos:
y'=x^3+x^2-6x

Passo 3

Em seguida, encontramos os pontos críticos resolvendo y'=0. Fatorando:
y'=x(x^2+x-6)=x(x+3)(x-2)=0
Portanto os pontos críticos são x=-3,;x=0 e x=2.

Passo 4

Para decidir se cada ponto crítico é máximo ou mínimo local, calculamos a derivada segunda y'':
y''=3x^2+2x-6

Passo 5

Agora avaliamos y'' em cada ponto crítico:
Para x=-3:
y''(-3)=3cdot9+2(-3)-6=27-6-6=15>0
Logo há mínimo local em x=-3.
Para x=0:
y''(0)= -6<0
Logo há máximo local em x=0.
Para x=2:
y''(2)=3cdot4+2cdot2-6=12+4-6=10>0
Logo há mínimo local em x=2.

Passo 6

Para dar as coordenadas completas, calculamos y nesses pontos:
y(-3)=(-3)^44+(-3)^33-3(-3)^2+2=814-9-27+2=-554
y(0)=2
y(2)=164+83-12+2=-6+83=-103

Resposta

Máximo local em (0, 2). Mínimos locais em -3, -55/4 e 2, -10/3.

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