Determine a soma da seguinte série:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para calcular a soma da série infinita:
Estamos trabalhando com uma série infinita que envolve potências, fatoriais e termos alternados. Para resolver, vamos precisar usar conceitos de séries de Taylor, especialmente a expansão da função seno, já que a série se assemelha a essa.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da série. Observamos que
e
podem ser reescritos como:
Além disso,
pode ser fatorado como
. Então, nossa série fica:
Passo 3
Podemos fatorar os termos constantes fora da soma:
Isso simplifica para:
Passo 4
Agora, vamos lembrar da série de Taylor para a função seno:
Observamos que nossa soma se parece com isso, mas com
e um termo a mais. Vamos ajustar nossa expressão para se encaixar nessa forma.
Passo 5
Note que podemos reescrever a soma da seguinte maneira:
Isso porque, dividindo ambos os lados da série de seno por
, temos:
Passo 6
Substituindo
na expressão acima, temos:
Sabemos que
. Então:
Passo 7
Voltando à nossa expressão original, substituímos a soma pelo resultado encontrado:
Resposta
A soma da série é
.