Determine a soma da seguinte série:
sumn=0^infty(-1)^n 3^2 n+1 pi^2 n+32^2 n+1(2 n+1)!

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para calcular a soma da série infinita:
sumn=0^infty(-1)^n 3^2 n+1 pi^2 n+32^2 n+1(2 n+1)!
Estamos trabalhando com uma série infinita que envolve potências, fatoriais e termos alternados. Para resolver, vamos precisar usar conceitos de séries de Taylor, especialmente a expansão da função seno, já que a série se assemelha a essa.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da série. Observamos que 3^2n+1 e 2^2n+1 podem ser reescritos como:
3^2n+12^2n+1 = (32)^2n+1
Além disso, pi^2n+3 pode ser fatorado como pi^3 cdot pi^2n. Então, nossa série fica:
sumn=0^infty (-1)^n (32)^2n+1 cdot pi^3 cdot pi^2n(2n+1)!

Passo 3

Podemos fatorar os termos constantes fora da soma:
pi^3 cdot (32) sumn=0^infty (-1)^n (3pi2)^2n 1(2n+1)!
Isso simplifica para:
3pi^32 sumn=0^infty (-1)^n (3pi/2)^2n(2n+1)!

Passo 4

Agora, vamos lembrar da série de Taylor para a função seno:
sin(x) = sumn=0^infty (-1)^n x^2n+1(2n+1)!
Observamos que nossa soma se parece com isso, mas com x = 3pi2 e um termo a mais. Vamos ajustar nossa expressão para se encaixar nessa forma.

Passo 5

Note que podemos reescrever a soma da seguinte maneira:
sumn=0^infty (-1)^n (3pi/2)^2n(2n+1)! = sin(3pi/2)3pi/2
Isso porque, dividindo ambos os lados da série de seno por x, temos:
sin(x)x = sumn=0^infty (-1)^n x^2n(2n+1)!

Passo 6

Substituindo x = 3pi2 na expressão acima, temos:
sumn=0^infty (-1)^n (3pi/2)^2n(2n+1)! = sin(3pi/2)3pi/2
Sabemos que sin(3pi/2) = -1. Então:
sin(3pi/2)3pi/2 = -13pi/2 = -23pi

Passo 7

Voltando à nossa expressão original, substituímos a soma pelo resultado encontrado:
3pi^32 cdot (-23pi) = -pi^2

Resposta

A soma da série é -pi^2.

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