Base ortonormal em coordenadas curvilíneas II. Os vetores tangentes às curvas de coordenada podem ser obtidos a partir do deslocamento infinitesimal
em direções apropriadas. (a) Considerando o caso bidimensional das coordenadas polares, em que sabemos
e
, encontre, a partir de
, os versores tangentes às respectivas curvas de coordenadas.
Passo 1
Beleza, a questão é sobre coordenadas polares numa base ortonormal em 2D. A ideia é: a gente tem o vetor posição
com
e o deslocamento infinitesimal
O que pedem é achar os versores (vetores unitários) que tangenciam as curvas de coordenada
=constante e
=constante, ou seja, os versores
e
. Para isso a gente vai usar derivadas parciais da posição e depois normalizar.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever
e
em função de
e
. Como
fazemos as derivadas parciais:
Passo 3
Substituindo em
a gente separa os termos que vêm com
e com
:
Desse jeito, a gente identifica que
Esses são os vetores tangentes (não normalizados) às curvas
=const e
=const, respectivamente.
Passo 4
Agora, para virar versores, basta dividir pelo comprimento de cada vetor.
- Comprimento de
:
- Comprimento de
:er = 11,partial rpartial r = cosvarphi,i + sinvarphi,j,
Logo, os versores são