Base ortonormal em coordenadas curvilíneas II. Os vetores tangentes às curvas de coordenada podem ser obtidos a partir do deslocamento infinitesimal d r em direções apropriadas. (a) Considerando o caso bidimensional das coordenadas polares, em que sabemos x(r, varphi) e y(r, varphi), encontre, a partir de d r=i d x+j d y, os versores tangentes às respectivas curvas de coordenadas.

Passo 1

Beleza, a questão é sobre coordenadas polares numa base ortonormal em 2D. A ideia é: a gente tem o vetor posição
r(r,varphi) = x(r,varphi),i + y(r,varphi),j
com
x = rcosvarphi, y = rsinvarphi,
e o deslocamento infinitesimal
dr = i,dx + j,dy
O que pedem é achar os versores (vetores unitários) que tangenciam as curvas de coordenada =constante e =constante, ou seja, os versores e . Para isso a gente vai usar derivadas parciais da posição e depois normalizar.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever x = rcosvarphi, y = rsinvarphi, e dx = partial xpartial r,dr + partial xpartial varphi,dvarphi = cosvarphi,dr - rsinvarphi,dvarphi, em função de dy = partial ypartial r,dr + partial ypartial varphi,dvarphi = sinvarphi,dr + rcosvarphi,dvarphi e . Como
fazemos as derivadas parciais:

Passo 3

Substituindo em
dr = i,dx + j,dy,
a gente separa os termos que vêm com dr = l(cosvarphi,i + sinvarphi,jr),dr + l(-rsinvarphi,i + rcosvarphi,jr),dvarphi e com partial rpartial r = cosvarphi,i + sinvarphi,j, :
partial rpartial varphi = -rsinvarphi,i + rcosvarphi,j
Desse jeito, a gente identifica que
Esses são os vetores tangentes (não normalizados) às curvas =const e =const, respectivamente.

Passo 4

Agora, para virar versores, basta dividir pelo comprimento de cada vetor.
  1. Comprimento de l|partial rpartial rr| = raizcos^2varphi + sin^2varphi = 1 :
l|partial rpartial varphir| = raiz(-rsinvarphi)^2 + (rcosvarphi)^2 = r
  1. Comprimento de er = 11,partial rpartial r = cosvarphi,i + sinvarphi,j, :
evarphi = 1r,partial rpartial varphi = -sinvarphi,i + cosvarphi,j
Logo, os versores são

Resposta

boxed er = cosvarphi,i + sinvarphi,j e evarphi = -sinvarphi,i + cosvarphi,j

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