Métrica. (b) Qual a hipótese feita sobre o sistema de coordenadas que implica em elementos
nulos fora da diagonal?
Passo 1
Beleza, vamos recapitular rapidinho o que o enunciado pede. A pergunta é: “Que hipótese sobre o sistema de coordenadas faz com que os componentes
do tensor métrico saiam zerados sempre que
?” Ou seja, por que o metrico vira uma matriz só com elementos na diagonal? Isso é assunto de geometria diferencial/relatividade — a gente vai precisar entender como os vetores base das coordenadas interagem, especialmente o conceito de ortogonalidade.
Passo 2
Lembra que o elemento de linha geral em coordenadas é
Aqui,
Passo 3
Portanto, para garantir que todo
com
seja zero, basta exigir que cada par distinto de vetores base seja ortogonal:
Isso faz o tensor métrico “zerar” fora da diagonal e ficar com apenas
Resposta
A hipótese é escolher um sistema de coordenadas ortogonais, ou seja, em que todos os vetores base
são mutuamente ortogonais.