Métrica. (b) Qual a hipótese feita sobre o sistema de coordenadas que implica em elementos gmu nu nulos fora da diagonal?

Passo 1

Beleza, vamos recapitular rapidinho o que o enunciado pede. A pergunta é: “Que hipótese sobre o sistema de coordenadas faz com que os componentes gmunu do tensor métrico saiam zerados sempre que muneqnu?” Ou seja, por que o metrico vira uma matriz só com elementos na diagonal? Isso é assunto de geometria diferencial/relatividade — a gente vai precisar entender como os vetores base das coordenadas interagem, especialmente o conceito de ortogonalidade.

Passo 2

Lembra que o elemento de linha geral em coordenadas é
ds^2 = gmunu,dx^mu dx^nu,
Aqui, gmunu = emu cdot enu, onde emu são os vetores base associados às coordenadas x^mu. Se dois vetores são ortogonais, o produto escalar deles é zero.

Passo 3

Portanto, para garantir que todo gmunu com muneqnu seja zero, basta exigir que cada par distinto de vetores base seja ortogonal:
emu cdot enu = 0 para;muneqnu,
Isso faz o tensor métrico “zerar” fora da diagonal e ficar com apenas g11,g22,dots.

Resposta

A hipótese é escolher um sistema de coordenadas ortogonais, ou seja, em que todos os vetores base emu são mutuamente ortogonais.

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