- A base de uma pirâmide tem área de
. A
do vértice, corta-se a pirâmide por um plano paralelo à base. Determine a área da secção.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa específica.
- Dado: a base da pirâmide tem área
. - Dado: corta-se a pirâmide por um plano paralelo à base a uma distância igual a
do vértice (ou seja, o plano está a da altura total medida a partir do vértice). - Pedido: determinar a área da secção (a área da figura obtida pela interseção do plano com a pirâmide).
Passo 2
Conceito importante que vamos usar (explicadinho): secções paralelas à base de uma pirâmide geram figuras geometricamente semelhantes à base.
- Isso significa que as formas são parecidas e os comprimentos correspondentes estão numa razão constante
. - Se a altura total da pirâmide for
e a secção estiver a uma distância do vértice (ao longo da altura), então a razão entre qualquer comprimento linear na secção e o correspondente na base é
Por que isso vale? Imagine um plano vertical que corta a pirâmide passando pelo vértice e pelo centro da base: ele forma dois triângulos semelhantes, um até a base inteira e outro até a secção. Pela semelhança dos triângulos, as razões entre comprimentos correspondentes são iguais a
.
Passo 3
Regra de áreas para figuras semelhantes (explicadinha): se duas figuras são semelhantes com razão linear
(cada comprimento da figura menor é
vezes o comprimento correspondente da maior), então as áreas estão na razão
. Ou seja, a área da secção
é
Motivo simples: área tem dimensão quadrada, então escala com o quadrado do fator linear.
Passo 4
Aplicando ao nosso caso: o plano está a
da altura a partir do vértice, então aqui temos
Logo
Passo 5
Calcular a área da secção usando a área da base
:
Fazendo as contas passo a passo:
, então
. Portanto