1. A base de uma pirâmide tem área de 225 \mathrm{~cm}^{2}. A 2 / 3 do vértice, corta-se a pirâmide por um plano paralelo à base. Determine a área da secção.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa específica.
  • Dado: a base da pirâmide tem área \;225\\ \mathrm{cm}^2.
  • Dado: corta-se a pirâmide por um plano paralelo à base a uma distância igual a \tfrac{2}{3} do vértice (ou seja, o plano está a \tfrac{2}{3} da altura total medida a partir do vértice).
  • Pedido: determinar a área da secção (a área da figura obtida pela interseção do plano com a pirâmide).

Passo 2

Conceito importante que vamos usar (explicadinho): secções paralelas à base de uma pirâmide geram figuras geometricamente semelhantes à base.
  • Isso significa que as formas são parecidas e os comprimentos correspondentes estão numa razão constante k.
  • Se a altura total da pirâmide for \;H e a secção estiver a uma distância \;h do vértice (ao longo da altura), então a razão entre qualquer comprimento linear na secção e o correspondente na base é
k=\frac{h}{H}.
Por que isso vale? Imagine um plano vertical que corta a pirâmide passando pelo vértice e pelo centro da base: ele forma dois triângulos semelhantes, um até a base inteira e outro até a secção. Pela semelhança dos triângulos, as razões entre comprimentos correspondentes são iguais a \frac{h}{H}.

Passo 3

Regra de áreas para figuras semelhantes (explicadinha): se duas figuras são semelhantes com razão linear k (cada comprimento da figura menor é k vezes o comprimento correspondente da maior), então as áreas estão na razão k^2. Ou seja, a área da secção A_{\text{sec}} é
A_{\text{sec}} = k^2 \cdot A_{\text{base}}.
Motivo simples: área tem dimensão quadrada, então escala com o quadrado do fator linear.

Passo 4

Aplicando ao nosso caso: o plano está a \tfrac{2}{3} da altura a partir do vértice, então aqui temos
k=\frac{h}{H}=\frac{2}{3}.
Logo
k^2=\left(\frac{2}{3}\right)^2=\frac{4}{9}.

Passo 5

Calcular a área da secção usando a área da base \;225\\ \mathrm{cm}^2:
A_{\text{sec}} = \frac{4}{9}\cdot 225.
Fazendo as contas passo a passo: \;225\div 9 = 25, então \;25\cdot 4 = 100. Portanto
A_{\text{sec}} = 100\\ \mathrm{cm}^2.

Resposta

100\\ \mathrm{cm}^2

Exercícios relacionados