- Seja uma pirâmide na qual uma secção é feita a 2 cm da base. Sabendo que a área da secção é igual a 4/9 da área da base, calcule a distância da secção ao vértice da pirâmide.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a distância da secção ao vértice da pirâmide sabendo duas coisas: (i) a secção foi feita a
da base (ou seja, a distância entre o plano da secção e o plano da base é
); (ii) a área da secção vale
da área da base. A pergunta final é: qual a distância entre a secção e o vértice da pirâmide? Nada mais é dado.
Passo 2
Ideia geométrica (explicada devagar): quando cortamos uma pirâmide por um plano paralelo à base, a figura da secção é uma figura similar à base (mesma forma, só que menor). Isso ocorre porque todas as arestas laterais partem do vértice e intersectam planos paralelos formando polígonos proporcionais. Portanto existe um fator de escala linear
tal que cada comprimento correspondente na secção vale
vezes o comprimento correspondente na base. Vou usar essa ideia para relacionar alturas e áreas.
Passo 3
Relação entre distância ao vértice e fator linear de semelhança: seja
a altura da pirâmide (distância do vértice até o plano da base) e seja
a distância do vértice até o plano da secção. Como o plano da secção é paralelo à base, o fator de semelhança linear entre a secção e a base é
No enunciado nos deram a distância da secção à base, que é
. Assim
. Portanto
Passo 4
Relação área ↔ fator linear: quando duas figuras são semelhantes com razão linear
, suas áreas têm razão
. Aqui a razão das áreas é dada:
Pelo enunciado essa razão é
. Logo montamos a equação
Passo 5
Resolver a equação passo a passo: tirar raiz quadrada (tomando a razão positiva porque
e
são positivos)
Agora resolver para
:
Subtraindo
dos dois lados:
Isso dá
logo
Passo 6
Calcular a distância pedida: a distância da secção ao vértice é
. Substituindo
obtemos
Verificação rápida: razão linear
e razão de áreas
, que bate com o enunciado. Tudo consistente!