1. Seja uma pirâmide na qual uma secção é feita a 2 cm da base. Sabendo que a área da secção é igual a 4/9 da área da base, calcule a distância da secção ao vértice da pirâmide.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a distância da secção ao vértice da pirâmide sabendo duas coisas: (i) a secção foi feita a 2\\ \text{cm} da base (ou seja, a distância entre o plano da secção e o plano da base é 2\\ \text{cm}); (ii) a área da secção vale \tfrac{4}{9} da área da base. A pergunta final é: qual a distância entre a secção e o vértice da pirâmide? Nada mais é dado.

Passo 2

Ideia geométrica (explicada devagar): quando cortamos uma pirâmide por um plano paralelo à base, a figura da secção é uma figura similar à base (mesma forma, só que menor). Isso ocorre porque todas as arestas laterais partem do vértice e intersectam planos paralelos formando polígonos proporcionais. Portanto existe um fator de escala linear k tal que cada comprimento correspondente na secção vale k vezes o comprimento correspondente na base. Vou usar essa ideia para relacionar alturas e áreas.

Passo 3

Relação entre distância ao vértice e fator linear de semelhança: seja H a altura da pirâmide (distância do vértice até o plano da base) e seja d a distância do vértice até o plano da secção. Como o plano da secção é paralelo à base, o fator de semelhança linear entre a secção e a base é
k=\frac{d}{H}.
No enunciado nos deram a distância da secção à base, que é 2\\ \text{cm}. Assim d=H-2. Portanto
k=\frac{H-2}{H}.

Passo 4

Relação área ↔ fator linear: quando duas figuras são semelhantes com razão linear k, suas áreas têm razão k^2. Aqui a razão das áreas é dada:
\frac{A_{\text{sec}}}{A_{\text{base}}}= \left(\frac{H-2}{H}\right)^2.
Pelo enunciado essa razão é \tfrac{4}{9}. Logo montamos a equação
\left(\frac{H-2}{H}\right)^2=\frac{4}{9}.

Passo 5

Resolver a equação passo a passo: tirar raiz quadrada (tomando a razão positiva porque H-2 e H são positivos)
\frac{H-2}{H}=\frac{2}{3}.
Agora resolver para H:
H-2=\frac{2}{3}H.
Subtraindo \tfrac{2}{3}H dos dois lados:
H-\frac{2}{3}H=2.
Isso dá
\frac{1}{3}H=2,
logo
H=6\\ \text{cm}.

Passo 6

Calcular a distância pedida: a distância da secção ao vértice é d=H-2. Substituindo H=6\\ \text{cm} obtemos
d=6-2=4\\ \text{cm}.
Verificação rápida: razão linear k=\tfrac{4}{6}=\tfrac{2}{3} e razão de áreas k^2=(\tfrac{2}{3})^2=\tfrac{4}{9}, que bate com o enunciado. Tudo consistente!

Resposta

4\\ \text{cm}

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