Ao engradado de 50 lb que parte do repouso dá-se uma velocidade de 10 pés/s em t=4 \mathrm{~s}. Se a aceleração é constante, determine a potência que deve ser fornecida ao motor quando t=2 \mathrm{~s}. O motor tem rendimento \epsilon=0,76. Despreze a massa da polia e a do cabo.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações (tudo abaixo foi retirado do enunciado):
  • Peso do engradado: W=50\\ \mathrm{lb}.
  • Parte do repouso: v_0=0.
  • Em t=4\\ \mathrm{s} a velocidade é v(4)=10\\ \mathrm{ft/s}.
  • A aceleração é constante.
  • Motor com rendimento \epsilon=0{,}76.
  • Desprezar massa da polia e do cabo.
O que o problema pede:
  • Determinar a potência que deve ser fornecida ao motor quando t=2\\ \mathrm{s} (ou seja, a potência de entrada do motor, levando em conta o rendimento).

Passo 2

Encontrar a aceleração constante usando a relação da velocidade em movimento uniformemente acelerado.
A fórmula que liga velocidade inicial v_0, aceleração a e tempo t é
v(t)=v_0 + a t.
Como v_0=0 e v(4)=10\\ \mathrm{ft/s}, isolamos a:
a=\frac{v(4)-v_0}{4}=\frac{10-0}{4}=2{,}5\\ \mathrm{ft/s^2}.
Explicação breve: com aceleração constante a velocidade cresce linearmente; essa é a fórmula que usamos em todo movimento uniformemente acelerado.

Passo 3

Calcular a velocidade no instante t=2\\ \mathrm{s} usando a mesma fórmula:
v(2)=v_0 + a\cdot 2 = 0 + 2{,}5\cdot 2 = 5\\ \mathrm{ft/s}.
Então no instante pedido a velocidade é 5\\ \mathrm{ft/s}.

Passo 4

Determinar a massa (em slugs) a partir do peso. No sistema imperial:
W = m\,g,
onde W é o peso em \mathrm{lb}, m é a massa em slugs e g é a aceleração da gravidade em \mathrm{ft/s^2}. Usamos o valor aproximado
g=32\\ \mathrm{ft/s^2}.
Assim
m=\frac{W}{g}=\frac{50}{32}=1{,}5625\\ \text{slugs}.
Comentário: 1 slug é a unidade de massa que faz com que 1\\ \text{slug}\cdot 1\\ \mathrm{ft/s^2}=1\\ \mathrm{lb} (força).

Passo 5

Encontrar a tração T no cabo no instante t=2\\ \mathrm{s}. Usamos a segunda lei de Newton na vertical (assumindo que o bloco sobe, positivo para cima):
\sum F = m a \quad\Rightarrow\quad T - W = m a.
Isolando T:
T = W + m a = m(g + a).
Substituindo valores:
T = 1{,}5625\cdot(32 + 2{,}5)=1{,}5625\cdot 34{,}5=53{,}90625\\ \mathrm{lb}.
Observação: a unidade \mathrm{lb} aqui é de força (pound-force). Num cálculo direto, m(g+a) já fica em \mathrm{lb}.

Passo 6

Calcular a potência útil (saída do motor, potência mecânica entregue ao engradado) no instante t=2\\ \mathrm{s}. A potência mecânica instantânea fornecida por uma força que puxa com velocidade v é
P_{\text{útil}} = T\cdot v.ú
Substituindo:
P_{\text{útil}} = 53{,}90625\cdot 5 = 269{,}53125\\ \mathrm{ft\cdot lb/s}.ú
Explicação: potência = força × velocidade (quando força e velocidade têm mesma direção).

Passo 7

Calcular a potência que deve ser fornecida pelo motor (potência de entrada) levando em conta o rendimento \epsilon. Se o motor entrega P_{\text{útil}}ú e tem rendimento \epsilon, a potência elétrica/entrada necessária é
P_{\text{in}}=\frac{P_{\text{útil}}}{\epsilon}.ú
Portanto
P_{\text{in}}=\frac{269{,}53125}{0{,}76}=354{,}409\\ \mathrm{ft\cdot lb/s}.

Passo 8

Converter a potência para unidades usuais (horsepower e watts) para interpretação prática.
  1. Para horsepower ( \mathrm{hp}), usando 1\\ \mathrm{hp}=550\\ \mathrm{ft\cdot lb/s}:
P_{\text{in}}=\frac{354{,}409}{550}=0{,}64438\\ \mathrm{hp}\approx 0{,}644\\ \mathrm{hp}.
  1. Para watts ( \mathrm{W}), usando 1\\ \mathrm{ft\cdot lb/s}=1{,}35581795\\ \mathrm{W}:
P_{\text{in}}=354{,}409\cdot 1{,}35581795 \approx 480{,}4\\ \mathrm{W}.

Passo 9

Resumo numérico e interpretação: para acelerar o engradado (além de vencê-lo contra a gravidade) no instante t=2\\ \mathrm{s}, o motor precisa fornecer uma potência de entrada de aproximadamente 354{,}4\\ \mathrm{ft\cdot lb/s}, que corresponde a 0{,}644\\ \mathrm{hp} ou 480{,}4\\ \mathrm{W}. Força no cabo nesse instante é cerca de 53{,}91\\ \mathrm{lb}. Vai dar certo — respira, anota isso e repete o raciocínio; é o tipo de coisa que costuma cair na prova.

Resposta

Potência de entrada ao motor: P_{\text{in}}=354{,}4\\ \mathrm{ft\cdot lb/s}=0{,}644\\ \mathrm{hp}=480{,}4\\ \mathrm{W}.

Exercícios relacionados