Baseando-se no fato de que um indicador colorido acusa quando a concentração de A se torna inferior a 0,1 \mathrm{~mol} / litro, o seguinte esquema foi proposto para estudar a cinética de decomposição de A . Uma alimentação de 0,6 mol/litro é introduzida no primeiro de dois reatores de mistura em série, cada qual com o volume de 400 \mathrm{~cm}^{3}. A mudança de coloração ocorre, no primeiro reator, para uma velocidade de alimentação de 10 \mathrm{~cm}^{3} / \mathrm{min} \mathrm{e}, no segundo, para a velocidade de alimentaçăo de 50 \mathrm{cm}^{3} / \mathrm{min}. Baseando-se nestas informações, determinar a equação de velocidade desta reação.

Passo 1

O que o problema pede: determinar a equação de velocidade da reação (ou seja, a lei da velocidade e sua constante) com base nas observações experimentais dadas.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
C_0 = 0,6\\ \mathrm{mol\;L^{-1}} \quad\text{(concentração de alimentação)},çãçã
V = 400\\ \mathrm{cm^3} = 0,4\\ \mathrm{L}\quad\text{(volume de cada reator)},
o indicador mostra quando a concentração de A fica abaixo de
C_{\text{crit}} = 0,1\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}.
Observações experimentais:
\text{Para }Q_1 = 10\\ \mathrm{cm^3/min} = 0,01\\ \mathrm{L/min},\\ \text{o indicador muda já no primeiro reator (ou seja, }C_1 = 0,1\text{).}á
\text{Para }Q_2 = 50\\ \mathrm{cm^3/min} = 0,05\\ \mathrm{L/min},\\ \text{o indicador muda no segundo reator (ou seja, }C_2 = 0,1\text{, com }C_1>0,1\text{).}
Nenhuma outra informação gráfica ou tabela foi fornecida; usaremos essas igualdades como dados exatos.

Passo 2

Modelagem e fórmula básica (muito importante — vou explicar devagar como usar):
  • Em regime estacionário para um reator contínuo perfeitamente agitado (CSTR) com vazão Q, volume V, alimentação com concentração C_{\text{in}} e concentração dentro do reator C, a equação do balanço de massa é
Q\,(C_{\text{in}}-C)=V\;r,
onde r é a velocidade de consumo de A por unidade de volume (unidade: \mathrm{mol\;L^{-1}\;min^{-1}} aqui).
  • Se a lei de velocidade for do tipo de potência (forma geral que vamos testar)
r = k\,C^m,
então a equação do CSTR fica
Q\,(C_{\text{in}}-C)=V\,k\,C^{m}.
Explicando as letras:
  • Q é a vazão (L/min);
  • C_{\text{in}} é a concentração de entrada (mol/L);
  • C é a concentração no reator (mol/L);
  • V é o volume do reator (L);
  • k é a constante de velocidade (unidade depende de m);
  • m é a ordem aparente da reação (expoente que queremos determinar).
Usaremos um índice para identificar concentrações no primeiro e no segundo reator: C_1 e C_2. A alimentação para o primeiro é C_0.

Passo 3

Aplicando o balanço ao caso experimental 1 (vazão Q_1=0,01\\ \mathrm{L/min}, mudança no primeiro reator):
pelo enunciado, quando Q=0,01 a concentração no primeiro reator atinge o limiar do indicador, isto é
C_1 = 0,1\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}.
Substituindo na equação do CSTR para o primeiro reator:
Q_1\,(C_0-C_1)=V\,k\,C_1^{m}.
Agora substituímos valores conhecidos:
0,01\,(0,6-0,1)=0,4\;k\;(0,1)^{m}.
Calcule o lado esquerdo:
0,01\times 0,5 = 0,005.
Logo
0,005 = 0,4\;k\;(0,1)^{m}.
Isolando k em função de m:
k = \frac{0,005}{0,4\,(0,1)^{m}} = \frac{0,0125}{(0,1)^{m}}.
Guarde essa expressão (é a relação entre k e m obtida a partir do primeiro experimento).

Passo 4

Agora aplicamos os balanços ao caso experimental 2 (vazão Q_2=0,05\\ \mathrm{L/min}, mudança ocorre no segundo reator):
As equações para os dois reatores são, em regime estacionário,
para o primeiro reator:
Q_2\,(C_0-C_1)=V\,k\,C_1^{m},
para o segundo reator:
Q_2\,(C_1-C_2)=V\,k\,C_2^{m}.
Pelo enunciado neste caso a mudança ocorre no segundo reator, então
C_2 = 0,1\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}.
Substituímos na equação do segundo reator:
0,05\,(C_1-0,1)=0,4\;k\;(0,1)^{m}.
Note que o lado direito 0,4\,k\,(0,1)^m já apareceu no Passo 3 e vale 0,005 (veja a equação obtida lá). Portanto:
0,05\,(C_1-0,1)=0,005.
Isolando C_1:
C_1-0,1 = \frac{0,005}{0,05} = 0,1,
portanto
C_1 = 0,2\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}.

Passo 5

Usamos agora a equação do primeiro reator no caso Q_2 para relacionar m:
A equação do primeiro reator para Q_2 é
0,05\,(C_0-C_1)=0,4\;k\;C_1^{m}.
Substituímos C_0=0,6, C_1=0,2 e a expressão de k obtida no Passo 3 (ou podemos eliminar k de outra forma). Vou eliminar k substituindo a expressão do Passo 3: k = \dfrac{0,0125}{(0,1)^{m}}.
Primeiro calcule o lado esquerdo:
0,05\,(0,6-0,2)=0,05\times 0,4 = 0,02.
O lado direito com k substituído:
0,4\cdot \frac{0,0125}{(0,1)^{m}}\cdot (0,2)^{m}.
Calcule 0,4\times 0,0125 = 0,005. Assim:
0,02 = 0,005\cdot \frac{(0,2)^{m}}{(0,1)^{m}} = 0,005\left(\frac{0,2}{0,1}\right)^{m}.
Observe que \dfrac{0,2}{0,1}=2. Logo:
0,02 = 0,005\cdot 2^{m}.
Dividindo ambos os lados por 0,005:
\frac{0,02}{0,005} = 2^{m} \quad\Rightarrow\quad 4 = 2^{m}.
Portanto
m = 2.
Ou seja, a reação é de segunda ordem em A.

Passo 6

Com m=2 calculamos k usando a expressão obtida no Passo 3:
k = \frac{0,0125}{(0,1)^{2}} = \frac{0,0125}{0,01} = 1,25.
Unidades de k: para uma reação de ordem m=2 com r=kC^{2} e r em \mathrm{mol\;L^{-1}\;min^{-1}}, a unidade de k é \mathrm{L\;mol^{-1}\;min^{-1}}. Logo
k = 1,25\\ \mathrm{L\;mol^{-1}\;min^{-1}}.

Resposta

r = 1,25\\ \mathrm{L\,mol^{-1}\,min^{-1}}\;C^{2}

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