Uma bateria ideal de 6 V , com resistência interna desprezível, é utilizada para carregar um capacitor de
através de um resistor de
. Determine:
(a) a corrente inicial. b) a carga final no capacitor. c) o tempo necessário para a carga atingir
de seu valor final. d) a carga quando o valor da corrente for igual à metade de seu valor inicial.
(a) a corrente inicial. b) a carga final no capacitor. c) o tempo necessário para a carga atingir
Passo 1
O enunciado nos dá os seguintes dados e pede quatro coisas.
- Dados fornecidos:
- Tensão da bateria:
. - Resistência do circuito:
. - Capacitância do capacitor:
(ou ). - A bateria é ideal e a resistência interna é desprezível.
- Pressupõe-se que, no instante
, o capacitor está descarregado e o circuito é fechado para iniciar a carga.
- Tensão da bateria:
- O que o enunciado pede:
(a) a corrente inicial imediatamente após fechar o circuito,;\n
(b) a carga final no capacitor,(quando o circuito atingir o estado estacionário);\n
(c) o tempo necessário para a carga atingirdo seu valor final;\n
(d) a carga no capacitor quando a corrente valer metade do seu valor inicial.
Passo 2
Modelo e equações fundamentais (sem resolver ainda).
- Quando o capacitor carrega através de um resistor, a carga no capacitor
e a corrente satisfazem a lei de Kirchhoff de tensão:
- Relação entre corrente e carga:
- Substituindo
na equação de tensão obtemos uma equação diferencial para :
- É útil definir a constante de tempo do circuito:
Aqui
tem dimensão de tempo e controla a rapidez com que o capacitor carrega.
Passo 3
Resolver a equação diferencial para
de forma didática.
- Reescrever a equação diferencial isolando a derivada:
- Esta é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Usamos o fator integrante
. Multiplicando ambos os lados:
- O lado esquerdo é a derivada do produto
, logo:
- Integramos ambos os lados de
até . Usando a condição inicial :
- Isolando
:
- Usando
simplificamos . Portanto a forma padrão é:
Explicação:
é a carga final (quando
), e o fator
descreve a aproximação exponencial a esse valor.
Passo 4
Obter a expressão para a corrente
e calcular a corrente inicial (item a).
- Como
, derivando :
- Usando
obtemos a forma simplificada:
- A corrente inicial é
. Substituindo os dados:
- Em unidades mais usuais:
.
Passo 5
Calcular a carga final no capacitor (item b).
- A carga final (quando
) é
- Substituindo
e :
- Em unidades mais amigáveis:
.
Passo 6
Determinar o tempo para atingir
da carga final (item c).
- Queremos
. Usando :
- Tomando logaritmo natural:
- Primeiro calcule
:
- Agora
. Usando :
- Converto para microssegundos:
(aprox).
Passo 7
Encontrar a carga quando a corrente vale metade do valor inicial (item d).
- A condição é
. Como , temos:
- A carga nesse instante é
- Como
, obtemos . - Observação intuitiva: para um circuito RC de carga, quando a corrente decai até metade do valor inicial, a carga já alcançou metade da carga final — resultado direto das formas exponenciais de
e .
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(b)
(c)
(d)