(b)Calcule
da solução encontrada no item(a).
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular
, onde
é “a solução encontrada no item (a)”.
Informações fornecidas no enunciado deste item: apenas a solicitação da forma do limite, isto é, .
Informação que falta e que é essencial: a expressão explícita de obtida no item (a). Sem essa expressão não há dados suficientes para avaliar o limite numericamente ou simbolicamente.
Informações fornecidas no enunciado deste item: apenas a solicitação da forma do limite, isto é,
Informação que falta e que é essencial: a expressão explícita de
Passo 2
Por que não dá para calcular agora: um limite como
depende da forma da função
em torno de
. Sem saber se
é, por exemplo, contínua em
, ou se gera uma indeterminação do tipo
ou
, não podemos aplicar uma técnica concreta. Portanto, com os dados atuais (falta da expressão de
), não é possível realizar o cálculo pedido.
Passo 3
Como proceder quando você tiver a expressão de
— método básico 1: substituição direta (continuidade).
- Regra: se para cada
fixo a função é contínua em , então
- O que significa "contínua em
"? Significa que está bem definida em e que valores de para próximos a se aproximam de .
Exemplo simples e explicadinho: se, então substituímos e obtemos
Aqui usamos a continuidade do exponencial.
Passo 4
Método 2: indeterminações do tipo
ou
— usar expansão em série ou regra de L’Hôpital.
- Se ao substituir
você obtiver uma forma indeterminada, por exemplo , pode tentar manipular algebricamente, usar uma expansão em série (Taylor) em ao redor de , ou aplicar L’Hôpital (quando for uma razão de funções que satisfazem hipóteses).
Exemplo clássico e bem prático: se, note que ao substituir obtemos . Podemos reescrever como
Como
, trocando
obtemos
Outra opção seria usar expansão em série:
, dividir por
e ver o termo dominante.
Passo 5
Método 3: limites envolvendo integrais ou somas dependentes de
— teoremas de troca de limite e integral/soma.
- Se
for definida por uma integral que depende de , por exemplo , para trocar limite e integral com segurança usamos resultados como o Teorema da Convergência Dominada (se houver uma função integrável que domine independentemente de ) ou Convergência Dominada Uniforme/local. Nesse caso,
desde que as hipóteses do teorema sejam atendidas.
Exemplo rápido: se com
integrável em
, então
e
, assim por DCT
Exemplo rápido: se
Passo 6
Checklist prático para aplicar na prova (quando você tiver a expressão de
):
- Tente substituição direta
. Se funcionar, acabou. - Se der indeterminação, tente simplificar algebricamente ou usar fatoração/controle de termos dominantes.
- Se for razão com indeterminação
ou , pense em L’Hôpital (verifique hipóteses) ou em expansão de Taylor em . - Se
envolve integrais ou somas, verifique condições de convergência uniforme ou use o Teorema da Convergência Dominada. - Use o Teorema do Confronto (squeeze) quando puder colocar
entre duas funções com mesmo limite.
Se você quiser, me passe a expressão concreta deque apareceu no item (a) e eu faço o cálculo passo a passo usando um desses métodos — eu te mostro cada manipulação para você reproduzir na prova.
Resposta
Não é possível calcular
sem a expressão explícita de
obtida no item (a).