(b)Calcule \lim _{k \rightarrow 0} \varphi(t, k) da solução encontrada no item(a).

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular \displaystyle \lim_{k\to 0} \varphi(t,k), onde \varphi(t,k) é “a solução encontrada no item (a)”.
Informações fornecidas no enunciado deste item: apenas a solicitação da forma do limite, isto é, \displaystyle \lim_{k\to 0} \varphi(t,k).
Informação que falta e que é essencial: a expressão explícita de \varphi(t,k) obtida no item (a). Sem essa expressão não há dados suficientes para avaliar o limite numericamente ou simbolicamente.

Passo 2

Por que não dá para calcular agora: um limite como \displaystyle \lim_{k\to 0} \varphi(t,k) depende da forma da função \varphi em torno de k=0. Sem saber se \varphi é, por exemplo, contínua em k=0, ou se gera uma indeterminação do tipo 0/0 ou \infty\cdot 0, não podemos aplicar uma técnica concreta. Portanto, com os dados atuais (falta da expressão de \varphi), não é possível realizar o cálculo pedido.

Passo 3

Como proceder quando você tiver a expressão de \varphi(t,k) — método básico 1: substituição direta (continuidade).
  • Regra: se para cada t fixo a função k\mapsto \varphi(t,k) é contínua em k=0, então
\lim_{k\to 0}\varphi(t,k)=\varphi(t,0).
  • O que significa "contínua em k=0"? Significa que \varphi(t,k) está bem definida em k=0 e que valores de \varphi(t,k) para k próximos a 0 se aproximam de \varphi(t,0).
    Exemplo simples e explicadinho: se \varphi(t,k)=e^{kt}, então substituímos k=0 e obtemos
\lim_{k\to 0} e^{kt} = e^{0\cdot t}=1.
Aqui usamos a continuidade do exponencial.

Passo 4

Método 2: indeterminações do tipo 0/0 ou \infty/\infty — usar expansão em série ou regra de L’Hôpital.
  • Se ao substituir k=0 você obtiver uma forma indeterminada, por exemplo \tfrac{0}{0}, pode tentar manipular algebricamente, usar uma expansão em série (Taylor) em k ao redor de 0, ou aplicar L’Hôpital (quando for uma razão de funções que satisfazem hipóteses).
    Exemplo clássico e bem prático: se \varphi(t,k)=\dfrac{\sin(kt)}{k}, note que ao substituir k=0 obtemos \tfrac{0}{0}. Podemos reescrever como
\frac{\sin(kt)}{k}=t\cdot\frac{\sin(kt)}{kt}.
Como \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1, trocando x=kt obtemos
\lim_{k\to 0}\frac{\sin(kt)}{k}=t\cdot 1 = t.
Outra opção seria usar expansão em série: \sin(kt)=kt-\tfrac{(kt)^3}{6}+\cdots, dividir por k e ver o termo dominante.

Passo 5

Método 3: limites envolvendo integrais ou somas dependentes de k — teoremas de troca de limite e integral/soma.
  • Se \varphi(t,k) for definida por uma integral que depende de k, por exemplo \varphi(t,k)=\int_{a}^{b} f(x,t,k)\,dx, para trocar limite e integral com segurança usamos resultados como o Teorema da Convergência Dominada (se houver uma função integrável que domine |f(x,t,k)| independentemente de k) ou Convergência Dominada Uniforme/local. Nesse caso,
\lim_{k\to 0}\int_{a}^{b} f(x,t,k)\,dx=\int_{a}^{b} \lim_{k\to 0} f(x,t,k)\,dx
desde que as hipóteses do teorema sejam atendidas.
Exemplo rápido: se f(x,t,k)=e^{-kx}g(x,t) com g integrável em [a,b], então e^{-kx}\to 1 e |e^{-kx}g(x,t)|\le |g(x,t)|, assim por DCT
\lim_{k\to 0}\int_a^b e^{-kx}g(x,t)\,dx = \int_a^b g(x,t)\,dx.

Passo 6

Checklist prático para aplicar na prova (quando você tiver a expressão de \varphi):
  1. Tente substituição direta k=0. Se funcionar, acabou.
  2. Se der indeterminação, tente simplificar algebricamente ou usar fatoração/controle de termos dominantes.
  3. Se for razão com indeterminação \tfrac{0}{0} ou \tfrac{\infty}{\infty}, pense em L’Hôpital (verifique hipóteses) ou em expansão de Taylor em k.
  4. Se \varphi envolve integrais ou somas, verifique condições de convergência uniforme ou use o Teorema da Convergência Dominada.
  5. Use o Teorema do Confronto (squeeze) quando puder colocar \varphi(t,k) entre duas funções com mesmo limite.
    Se você quiser, me passe a expressão concreta de \varphi(t,k) que apareceu no item (a) e eu faço o cálculo passo a passo usando um desses métodos — eu te mostro cada manipulação para você reproduzir na prova.

Resposta

Não é possível calcular \displaystyle \lim_{k\to 0}\varphi(t,k) sem a expressão explícita de \varphi(t,k) obtida no item (a).

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