Resolva o problema de valor inicial dado.
13.
13.
Passo 1
O enunciado pede a solução do problema de valor inicial
com condições iniciais
Informações relevantes dadas:
-
é a função degrau unitário deslocada em , isto é . - O termo a direita
vale para e para ; é um “pulso” unitário no intervalo . - Todas as condições iniciais são zero (isso facilita o uso da transformada de Laplace).
A tarefa é encontrarpara (pode-se também anotar para por causalidade).
Passo 2
Escolha do método: vou usar a transformada de Laplace porque
- o lado direito é uma combinação de constantes e degrau deslocado (situação típica bem tratada por Laplace),
- as condições iniciais são todas zero (a transformada das derivadas fica simples),
- o método permite usar a propriedade do deslocamento no tempo para obter a solução em forma compacta e depois escrever a solução por partes.
Antes de aplicar, lembro três regras essenciais de Laplace que usarei: - Transformada de derivadas (com condições iniciais todas zero):
, onde . - Transformada do degrau deslocado:
. - Propriedade de deslocamento no tempo na inversa: se
então .
Passo 3
Aplico a transformada de Laplace na equação. Com condições iniciais zero:
Transformada do lado direito:
Logo, na transformada:
Observação:
fatora bem se fizermos
:
. Portanto
Assim
Passo 4
Vou inverter
usando a propriedade do deslocamento no tempo. Escrevo
Então
onde
. Resta achar
invertendo
por frações parciais.
Passo 5
Faço a decomposição em frações parciais
Multiplicando por
e comparando coeficientes obtém-se um sistema. Avaliando
já dá
Comparando coeficientes (detalhes algébricos):
- dos termos em
: , - em
: , - em
: , - em
: .
Das duas últimas igualdades paravem e . Substituindo nas equações para e resolvendo o sistema dá
Portanto a decomposição é
Passo 6
Agora aplico a inversa termo a termo (lembrando que
e
):
Usando a propriedade de deslocamento:
Para escrever de forma explícita por partes, calcule
. Usando
e
, obtemos
Logo, para
(onde
) temos
Para
(onde
) temos
Resposta
Para