Resolva o problema de valor inicial dado.
13. y^{(4)}+5 y^{\prime \prime}+4 y=1-u_{\pi}(t) ; \quad y(0)=0, \quad y^{\prime}(0)=0, \quad y^{\prime \prime}(0)=0, \quad y^{\prime \prime \prime}(0)=0

Passo 1

O enunciado pede a solução do problema de valor inicial
y^{(4)}+5y''+4y = 1 - u_{\pi}(t),
com condições iniciais
y(0)=0,\quad y'(0)=0,\quad y''(0)=0,\quad y^{(3)}(0)=0.
Informações relevantes dadas:
  • u_{\pi}(t) é a função degrau unitário deslocada em t=\pi, isto é u_{\pi}(t)=u(t-\pi).
  • O termo a direita 1-u_{\pi}(t) vale 1 para 0\le t<\pi e 0 para t>\pi; é um “pulso” unitário no intervalo [0,\pi).
  • Todas as condições iniciais são zero (isso facilita o uso da transformada de Laplace).
    A tarefa é encontrar y(t) para t\ge 0 (pode-se também anotar y(t)=0 para t<0 por causalidade).

Passo 2

Escolha do método: vou usar a transformada de Laplace porque
  • o lado direito é uma combinação de constantes e degrau deslocado (situação típica bem tratada por Laplace),
  • as condições iniciais são todas zero (a transformada das derivadas fica simples),
  • o método permite usar a propriedade do deslocamento no tempo para obter a solução em forma compacta e depois escrever a solução por partes.
    Antes de aplicar, lembro três regras essenciais de Laplace que usarei:
  • Transformada de derivadas (com condições iniciais todas zero): \mathcal{L}\{y^{(n)}\}=s^{n}Y(s), onde Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}.
  • Transformada do degrau deslocado: \mathcal{L}\{u(t-a)\} = \dfrac{e^{-a s}}{s}.
  • Propriedade de deslocamento no tempo na inversa: se \mathcal{L}\{f(t)\}=F(s) então \mathcal{L}^{-1}\{e^{-a s}F(s)\}=f(t-a)u(t-a).

Passo 3

Aplico a transformada de Laplace na equação. Com condições iniciais zero:
\mathcal{L}\{y^{(4)}\}=s^{4}Y(s),\quad \mathcal{L}\{y''\}=s^{2}Y(s),\quad \mathcal{L}\{y\}=Y(s).
Transformada do lado direito:
\mathcal{L}\{1-u_{\pi}(t)\}=\mathcal{L}\{1\}-\mathcal{L}\{u(t-\pi)\}=\frac{1}{s}-\frac{e^{-\pi s}}{s}=\frac{1-e^{-\pi s}}{s}.
Logo, na transformada:
(s^{4}+5s^{2}+4)Y(s)=\frac{1-e^{-\pi s}}{s}.
Observação: s^{4}+5s^{2}+4 fatora bem se fizermos z=s^{2}: z^{2}+5z+4=(z+1)(z+4). Portanto
s^{4}+5s^{2}+4=(s^{2}+1)(s^{2}+4).
Assim
Y(s)=\frac{1-e^{-\pi s}}{s(s^{2}+1)(s^{2}+4)}.

Passo 4

Vou inverter Y(s) usando a propriedade do deslocamento no tempo. Escrevo
Y(s)=\bigl(1-e^{-\pi s}\bigr)\cdot F(s), \quad\text{onde}\quad F(s)=\frac{1}{s(s^{2}+1)(s^{2}+4)}.
Então
y(t)=f(t)-f(t-\pi)\,u(t-\pi),
onde f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}. Resta achar f(t) invertendo F(s) por frações parciais.

Passo 5

Faço a decomposição em frações parciais
\frac{1}{s(s^{2}+1)(s^{2}+4)}=\frac{A}{s}+\frac{Bs+C}{s^{2}+1}+\frac{Ds+E}{s^{2}+4}.
Multiplicando por s(s^{2}+1)(s^{2}+4) e comparando coeficientes obtém-se um sistema. Avaliando s=0 já dá
1= A\cdot(1)\cdot(4)=4A \implies A=\frac{1}{4}.
Comparando coeficientes (detalhes algébricos):
  • dos termos em s^{4}: A+B+D=0,
  • em s^{3}: C+E=0,
  • em s^{2}: 5A+4B+D=0,
  • em s^{1}: 4C+E=0.
    Das duas últimas igualdades para C,E vem C=0 e E=0. Substituindo A=\tfrac14 nas equações para B,D e resolvendo o sistema dá
B=-\frac{1}{3},\qquad D=\frac{1}{12}.
Portanto a decomposição é
\frac{1}{s(s^{2}+1)(s^{2}+4)}=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{s}-\frac{1}{3}\cdot\frac{s}{s^{2}+1}+\frac{1}{12}\cdot\frac{s}{s^{2}+4}.

Passo 6

Agora aplico a inversa termo a termo (lembrando que \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{s}{s^{2}+a^{2}}\}=\cos(at) e \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s}\}=1):
f(t)=\frac{1}{4}-\frac{1}{3}\cos t+\frac{1}{12}\cos(2t).
Usando a propriedade de deslocamento:
y(t)=f(t)-f(t-\pi)\,u(t-\pi).
Para escrever de forma explícita por partes, calcule f(t-\pi). Usando \cos(t-\pi)=-\cos t e \cos(2(t-\pi))=\cos(2t), obtemos
f(t-\pi)=\frac{1}{4}+\frac{1}{3}\cos t+\frac{1}{12}\cos(2t).
Logo, para 0\le t<\pi (onde u(t-\pi)=0) temos
y(t)=f(t)=\frac{1}{4}-\frac{1}{3}\cos t+\frac{1}{12}\cos(2t).
Para t\ge\pi (onde u(t-\pi)=1) temos
y(t)=f(t)-f(t-\pi)=\Bigl(\frac{1}{4}-\frac{1}{3}\cos t+\frac{1}{12}\cos(2t)\Bigr)-\Bigl(\frac{1}{4}+\frac{1}{3}\cos t+\frac{1}{12}\cos(2t)\Bigr)=-\frac{2}{3}\cos t.

Resposta

Para t<0:\; y(t)=0.
0\le t<\pi:\; y(t)=\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{3}\cos t+\dfrac{1}{12}\cos(2t).
t\ge\pi:\; y(t)=-\dfrac{2}{3}\cos t.

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