1-a)
\begin{aligned} & F_{\text {efetiva }}=m(g+a) \quad g_{\text {efetiva }}=g+a \\\ & \quad \frac{d^{2} \theta}{d t^{2}}+\frac{g_{\text {efetiva }}}{b} \sin \theta=0 \frac{d^{2} \theta}{d t^{2}}+\frac{g+a}{b} \sin \theta=0 \end{aligned}
Para pequenos ângulos, \sin \theta \approx \theta, então a equação se torna: \frac{d^{2} \theta}{d t^{2}}+\frac{g+a}{b} \theta=0
\frac{d^{2} \theta}{d t^{2}}+\omega^{2} \theta=0 \quad \omega=\sqrt{\frac{g+a}{b}} T=\frac{2 \pi}{\omega}=2 \pi \sqrt{\frac{b}{g+a}}

Passo 1

O enunciado fornece a equação do movimento angular de um pêndulo em um referencial com aceleração adicional a (resultando numa gravidade efetiva g_{\text{efetiva}}=g+a):
\frac{d^{2}\theta}{dt^{2}}+\frac{g+a}{b}\sin\theta=0
Informações relevantes dadas:
  • m é a massa do pêndulo (não aparece na equação final do ângulo, mas foi usada para obter g_{\text{efetiva}});
  • g é a aceleração gravitacional;
  • a é a aceleração adicional do referencial (positivo no sentido que aumenta a “gravidade efetiva”);
  • b é uma distância característica do problema (comprimento efetivo do pêndulo);
  • a equação de movimento é não-linear por causa de \sin\theta.
    O que se pede: encontrar a frequência angular \omega e o período T para pequenas oscilações (usar a aproximação de pequenos ângulos).

Passo 2

Entendendo a aproximação de pequenos ângulos: para ângulos pequenos em radianos, a função seno pode ser aproximada por sua expansão em série de Taylor:
\sin\theta=\theta-\frac{\theta^{3}}{3!}+\frac{\theta^{5}}{5!}-\cdots
Se \theta é pequeno (por exemplo |\theta|\lesssim 0{,}1\\ \text{rad} que é cerca de 5{,}7^\circ), os termos de ordem superior são muito menores que \theta e podemos aproximar:
\sin\theta\approx\theta.
Essa aproximação transforma a equação não-linear numa equação linear simples de oscilador harmônico; é justamente isso que nos permite achar \omega e T de forma analítica.

Passo 3

Aplicando a aproximação \sin\theta\approx\theta na equação dada, obtemos a equação linear:
\frac{d^{2}\theta}{dt^{2}}+\frac{g+a}{b}\,\theta=0.
Esta é a equação padrão de um oscilador harmônico linear do tipo
\frac{d^{2}\theta}{dt^{2}}+\omega^{2}\theta=0,
onde \omega^{2} é o coeficiente que multiplica \theta. Comparando, identificamos
\omega^{2}=\frac{g+a}{b}.

Passo 4

Da igualdade anterior, extraímos a frequência angular positiva:
\omega=\sqrt{\frac{g+a}{b}}.
Comentário físico curto: \omega aumenta se a gravidade efetiva g+a aumenta (ou seja, se o referencial “puxa” mais para baixo), e diminui se g+a diminui.

Passo 5

O período T (tempo de uma oscilação completa) relaciona-se com a frequência angular por
T=\frac{2\pi}{\omega}.
Substituindo \omega acima:
T=2\pi\sqrt{\frac{b}{g+a}}.
Interpretação prática: o período diminui quando a gravidade efetiva aumenta; se a for negativo (aceleração para baixo do referencial), a gravidade efetiva diminui e o período aumenta.

Resposta

\displaystyle \omega=\sqrt{\frac{g+a}{b}}
\displaystyle T=2\pi\sqrt{\frac{b}{g+a}}

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