1-a)
Para pequenos ângulos,
, então a equação se torna:
Passo 1
O enunciado fornece a equação do movimento angular de um pêndulo em um referencial com aceleração adicional
(resultando numa gravidade efetiva
):
Informações relevantes dadas:
-
é a massa do pêndulo (não aparece na equação final do ângulo, mas foi usada para obter ); -
é a aceleração gravitacional; -
é a aceleração adicional do referencial (positivo no sentido que aumenta a “gravidade efetiva”); -
é uma distância característica do problema (comprimento efetivo do pêndulo); - a equação de movimento é não-linear por causa de
.
O que se pede: encontrar a frequência angulare o período para pequenas oscilações (usar a aproximação de pequenos ângulos).
Passo 2
Entendendo a aproximação de pequenos ângulos: para ângulos pequenos em radianos, a função seno pode ser aproximada por sua expansão em série de Taylor:
Se
é pequeno (por exemplo
que é cerca de
), os termos de ordem superior são muito menores que
e podemos aproximar:
Essa aproximação transforma a equação não-linear numa equação linear simples de oscilador harmônico; é justamente isso que nos permite achar
e
de forma analítica.
Passo 3
Aplicando a aproximação
na equação dada, obtemos a equação linear:
Esta é a equação padrão de um oscilador harmônico linear do tipo
onde
é o coeficiente que multiplica
. Comparando, identificamos
Passo 4
Da igualdade anterior, extraímos a frequência angular positiva:
Comentário físico curto:
aumenta se a gravidade efetiva
aumenta (ou seja, se o referencial “puxa” mais para baixo), e diminui se
diminui.
Passo 5
O período
(tempo de uma oscilação completa) relaciona-se com a frequência angular por
Substituindo
acima:
Interpretação prática: o período diminui quando a gravidade efetiva aumenta; se
for negativo (aceleração para baixo do referencial), a gravidade efetiva diminui e o período aumenta.