Calcular a integral
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas:
- A função integranda é uma função racional com numerador constante
e denominador . - Os fatores do denominador são quadráticos irreduzíveis sobre os reais:
e .
A tarefa é encontrar uma primitiva (ou antiderivada) dessa função.
Passo 2
Escolha do método: como o numerador tem grau menor que o denominador e o denominador fatorou em fatores quadráticos distintos, vamos usar decomposição em frações simples do tipo
onde
e
são constantes a determinar. Explico por que isso funciona: para cada fator quadrático distinto e irreduzível do denominador pode-se associar uma fração com numerador de grau menor que o do fator (aqui grau 0, ou seja constante). Isso reduz a integral a somas de termos do tipo
, cujo antiderivado é conhecido.
Passo 3
Determinar
Agrupando termos em
e termos constantes:
Como essa igualdade vale para todo
, os coeficientes correspondentes devem ser iguais. Assim obtemos o sistema
Da primeira equação segue
. Portanto a decomposição é
Passo 4
Lembrando a fórmula básica de integração que vamos usar:
onde
. Explico rapidamente por que: faça a substituição
, então
e
. Assim
No caso
obtemos
. No caso
obtemos
.
Passo 5
Agora integremos termo a termo a expressão obtida em Passo 3:
Usando as fórmulas do passo anterior:
Somando e absorvendo constantes em uma só constante
, a primitiva geral é