Calcular a integral
\int \frac{-3}{\left(x^{2}+1\right)\left(x^{2}+4\right)} d x .

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{-3}{\left(x^{2}+1\right)\left(x^{2}+4\right)}\,dx.
Informações dadas:
  • A função integranda é uma função racional com numerador constante -3 e denominador \left(x^{2}+1\right)\left(x^{2}+4\right).
  • Os fatores do denominador são quadráticos irreduzíveis sobre os reais: x^{2}+1 e x^{2}+4.
    A tarefa é encontrar uma primitiva (ou antiderivada) dessa função.

Passo 2

Escolha do método: como o numerador tem grau menor que o denominador e o denominador fatorou em fatores quadráticos distintos, vamos usar decomposição em frações simples do tipo
\frac{-3}{(x^{2}+1)(x^{2}+4)}=\frac{A}{x^{2}+1}+\frac{B}{x^{2}+4},
onde A e B são constantes a determinar. Explico por que isso funciona: para cada fator quadrático distinto e irreduzível do denominador pode-se associar uma fração com numerador de grau menor que o do fator (aqui grau 0, ou seja constante). Isso reduz a integral a somas de termos do tipo \dfrac{1}{x^{2}+a^{2}}, cujo antiderivado é conhecido.

Passo 3

Determinar A\) e \(B\). Multiplicando a igualdade anterior por \((x^{2}+1)(x^{2}+4)\) obtemos \[-3 = A(x^{2}+4)+B(x^{2}+1).
Agrupando termos em x^{2} e termos constantes:
-3 = (A+B)\,x^{2} + (4A + B).
Como essa igualdade vale para todo x, os coeficientes correspondentes devem ser iguais. Assim obtemos o sistema
\begin{cases} A+B = 0,\\[4pt] 4A + B = -3. \end{cases}
Da primeira equação segue B=-A\]. Substituindo na segunda: \[4A + (-A) = -3 \quad\Rightarrow\quad 3A = -3 \quad\Rightarrow\quad A = -1.\] Então \(B=-A=1. Portanto a decomposição é
\frac{-3}{(x^{2}+1)(x^{2}+4)} = \frac{-1}{x^{2}+1} + \frac{1}{x^{2}+4}.]

Passo 4

Lembrando a fórmula básica de integração que vamos usar:
\int \frac{1}{x^{2}+a^{2}}\,dx = \frac{1}{a}\arctan\!\left(\frac{x}{a}\right) + C,
onde a>0. Explico rapidamente por que: faça a substituição u=\dfrac{x}{a}, então dx=a\,du e x^{2}+a^{2}=a^{2}(u^{2}+1). Assim
\int \frac{1}{x^{2}+a^{2}}\,dx = \int \frac{a\,du}{a^{2}(u^{2}+1)} = \frac{1}{a}\int \frac{du}{u^{2}+1} = \frac{1}{a}\arctan(u)+C = \frac{1}{a}\arctan\!\left(\frac{x}{a}\right)+C.
No caso a=1 obtemos \int \dfrac{1}{x^{2}+1}\,dx=\arctan(x). No caso a=2 obtemos \int \dfrac{1}{x^{2}+4}\,dx=\dfrac{1}{2}\arctan\!\left(\dfrac{x}{2}\right).

Passo 5

Agora integremos termo a termo a expressão obtida em Passo 3:
\int \left(\frac{-1}{x^{2}+1} + \frac{1}{x^{2}+4}\right)\,dx = -\int \frac{1}{x^{2}+1}\,dx + \int \frac{1}{x^{2}+4}\,dx.
Usando as fórmulas do passo anterior:
-\int \frac{1}{x^{2}+1}\,dx = -\arctan(x) + C_1, \qquad \int \frac{1}{x^{2}+4}\,dx = \frac{1}{2}\arctan\!\left(\frac{x}{2}\right) + C_2.
Somando e absorvendo constantes em uma só constante C, a primitiva geral é
-\arctan(x) + \frac{1}{2}\arctan\!\left(\frac{x}{2}\right) + C.

Resposta

-\arctan(x) + \dfrac{1}{2}\arctan\!\left(\dfrac{x}{2}\right) + C

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