Calcular a integral
.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações dadas:
- A variável de integração é
. - A função a integrar é uma função racional, com numerador linear
e denominador . - Queremos uma primitiva (ou família de primitivas), ou seja, uma expressão
tal que .
Passo 2
Vamos fazer uma substituição simples para simplificar a expressão no denominador. Defina
Então
. Também expressamos o numerador em termos de
: como
,
Substituindo na integral original obtemos (agora em
)
Passo 3
Simplificamos a fração escrevendo os termos separadamente:
Assim a integral fica
Passo 4
Integramos termo a termo. Lembrando duas regras básicas de integração:
- Regra do logaritmo:
. - Regra da potência:
para .
Aplicando:
Passo 5
Juntando os dois resultados e voltando à variável
(lembrando que
), obtemos a primitiva
Passo 6
Verificação rápida (opcional, mas ajuda a confiar no resultado): derivando
que é exatamente o integrando. Portanto a primitiva está correta.