Calcular a integral \int \frac{6 x+7}{(x+3)^{2}} d x.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \frac{6x+7}{(x+3)^{2}}\,dx.
Informações dadas:
  • A variável de integração é x.
  • A função a integrar é uma função racional, com numerador linear 6x+7 e denominador (x+3)^{2}.
  • Queremos uma primitiva (ou família de primitivas), ou seja, uma expressão F(x)+C tal que F'(x)=\dfrac{6x+7}{(x+3)^{2}}.

Passo 2

Vamos fazer uma substituição simples para simplificar a expressão no denominador. Defina
u = x+3.
Então du = dx. Também expressamos o numerador em termos de u: como x = u-3,
6x+7 = 6(u-3)+7 = 6u-18+7 = 6u-11.
Substituindo na integral original obtemos (agora em u)
\int \frac{6x+7}{(x+3)^{2}}\,dx = \int \frac{6u-11}{u^{2}}\,du.

Passo 3

Simplificamos a fração escrevendo os termos separadamente:
\frac{6u-11}{u^{2}} = \frac{6u}{u^{2}} - \frac{11}{u^{2}} = \frac{6}{u} - 11\,u^{-2}.
Assim a integral fica
\int \left(\frac{6}{u} - 11\,u^{-2}\right)\,du.

Passo 4

Integramos termo a termo. Lembrando duas regras básicas de integração:
  • Regra do logaritmo: \displaystyle \int \frac{1}{u}\,du = \ln|u| + C.
  • Regra da potência: \displaystyle \int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1}+C para n\neq -1.
Aplicando:
\int \frac{6}{u}\,du = 6\int \frac{1}{u}\,du = 6\ln|u|.
\int -11\,u^{-2}\,du = -11\int u^{-2}\,du = -11\cdot\left(\frac{u^{-1}}{-1}\right) = 11\,u^{-1} = \frac{11}{u}.

Passo 5

Juntando os dois resultados e voltando à variável x (lembrando que u=x+3), obtemos a primitiva
6\ln|u| + \frac{11}{u} + C = 6\ln|x+3| + \frac{11}{x+3} + C.

Passo 6

Verificação rápida (opcional, mas ajuda a confiar no resultado): derivando
\frac{d}{dx}\!\left(6\ln|x+3| + \frac{11}{x+3}\right) = \frac{6}{x+3} - \frac{11}{(x+3)^{2}} = \frac{6(x+3)-11}{(x+3)^{2}} = \frac{6x+7}{(x+3)^{2}},
que é exatamente o integrando. Portanto a primitiva está correta.

Resposta

6\ln|x+3| + \dfrac{11}{x+3} + C

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