2- Um bem de \ 350pode ser pago dando-se uma entrada mais quatro prestações bimestrais de$100. A juros efetivos de5 %$ a.m., calcular o valor da entrada.
Passo 1
Identificar exatamente o que o enunciado dá e o que pede.
Dá o preço total do bem: \$350.
Dá a forma de pagamento: uma entrada (valor desconhecido) mais quatro prestações bimestrais de \$100 cada.
Dá a taxa de juros efetiva: \,5\% ao mês, isto é \,i_{\text{mês}}=0,05.
Pede: calcular o valor da entrada (pagamento no instante 0) que torna o valor presente dos pagamentos igual a \$350.
Passo 2
Transformar a taxa dada para a taxa por período de pagamento (bimestre).
As prestações são bimestrais, ou seja, cada período tem 2 meses.
Com juros compostos, a taxa efetiva por bimestre é
i = (1+i_{\text{mês}})^{2}-1.
Substituindo i_{\text{mês}}=0,05 obtemos
i = (1+0,05)^{2}-1 = 1,1025-1 = 0,1025.
Conclusão: a taxa por período (bimestre) é \,i=0,1025 (ou 10,25\% por bimestre).
Explicação curta: como os juros são compostos mês a mês, para achar os juros em 2 meses compomos duas vezes a taxa mensal.
Passo 3
Definir o valor presente (PV) dos pagamentos e a fórmula do valor presente de uma anuidade-imediata.
O preço do bem ao tempo 0 deve ser igual ao valor presente da entrada (que é paga em t=0) mais o valor presente das quatro prestações de \$100 pagas em t=1,2,3,4 (em bimestres).
Vamos chamar de E o valor da entrada que queremos achar.
Seja v o fator de desconto por período:
v=\frac{1}{1+i}.
O valor presente de uma prestação unitária paga no final de cada período, por n períodos, é a anuidade-imediata
a_{\overline{n}|}=\frac{1-v^{n}}{i}.
Aqui:
a_{\overline{n}|} é o valor presente de 1 por período por n períodos (visto no tempo 0),
v^{n} é o fator de desconto até o n-ésimo pagamento,
i é a taxa por período.
Breve derivação da fórmula (geométrica): a soma dos descontos das parcelas 1 em t=1 até t=n é
v+v^{2}+\cdots+v^{n}=v\frac{1-v^{n}}{1-v}.
Como 1-v=\dfrac{i}{1+i} e multiplicando convenientemente chegamos a \dfrac{1-v^{n}}{i}. Não se assuste: é só a soma de uma progressão geométrica.
Explicação: a_{\overline{4}|} é o fator que transforma uma série de 4 pagamentos unitários em seu valor presente no tempo 0. Multiplicando por \$100 obtemos o PV das quatro prestações.
Passo 5
Calcular o valor presente das quatro prestações e daí a entrada.
Como o preço total é \$350, a entrada E deve satisfazer
E+\text{PV\_prestações}=350.çõ
Portanto
E=350-315,27868\approx 34,72132.
Arredondando para centavos (duas casas decimais): \$34,72.
Comentário amigável: olha só — a entrada é pequena porque as quatro parcelas, quando descontadas pelos juros de 10{,}25\% por bimestre, já cobrem quase todo o preço.