2- Um bem de \ 350 pode ser pago dando-se uma entrada mais quatro prestações bimestrais deçõ$100 . A juros efetivos de5 %$ a.m., calcular o valor da entrada.

Passo 1

Identificar exatamente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dá o preço total do bem: \$350.
  • Dá a forma de pagamento: uma entrada (valor desconhecido) mais quatro prestações bimestrais de \$100 cada.
  • Dá a taxa de juros efetiva: \,5\% ao mês, isto é \,i_{\text{mês}}=0,05ê.
  • Pede: calcular o valor da entrada (pagamento no instante 0) que torna o valor presente dos pagamentos igual a \$350.

Passo 2

Transformar a taxa dada para a taxa por período de pagamento (bimestre).
  • As prestações são bimestrais, ou seja, cada período tem 2 meses.
  • Com juros compostos, a taxa efetiva por bimestre é
i = (1+i_{\text{mês}})^{2}-1.ê
  • Substituindo i_{\text{mês}}=0,05ê obtemos
i = (1+0,05)^{2}-1 = 1,1025-1 = 0,1025.
  • Conclusão: a taxa por período (bimestre) é \,i=0,1025 (ou 10,25\% por bimestre).
Explicação curta: como os juros são compostos mês a mês, para achar os juros em 2 meses compomos duas vezes a taxa mensal.

Passo 3

Definir o valor presente (PV) dos pagamentos e a fórmula do valor presente de uma anuidade-imediata.
  • O preço do bem ao tempo 0 deve ser igual ao valor presente da entrada (que é paga em t=0) mais o valor presente das quatro prestações de \$100 pagas em t=1,2,3,4 (em bimestres).
  • Vamos chamar de E o valor da entrada que queremos achar.
  • Seja v o fator de desconto por período:
v=\frac{1}{1+i}.
  • O valor presente de uma prestação unitária paga no final de cada período, por n períodos, é a anuidade-imediata
a_{\overline{n}|}=\frac{1-v^{n}}{i}.
Aqui:
  • a_{\overline{n}|} é o valor presente de 1 por período por n períodos (visto no tempo 0),
  • v^{n} é o fator de desconto até o n-ésimo pagamento,
  • i é a taxa por período.
Breve derivação da fórmula (geométrica): a soma dos descontos das parcelas 1 em t=1 até t=n é
v+v^{2}+\cdots+v^{n}=v\frac{1-v^{n}}{1-v}.
Como 1-v=\dfrac{i}{1+i} e multiplicando convenientemente chegamos a \dfrac{1-v^{n}}{i}. Não se assuste: é só a soma de uma progressão geométrica.

Passo 4

Aplicar os fórmulas aos números do problema.
  • Primeiro calculemos v:
v=\frac{1}{1+i}=\frac{1}{1+0,1025}=\frac{1}{1,1025}\approx 0,907029478.
  • Usaremos a fórmula da anuidade para n=4:
a_{\overline{4}|}=\frac{1-v^{4}}{i}.
  • Calcular v^{4}. Observação: v=(1,05)^{-2}, logo v^{4}=(1,05)^{-8}. Numericamente:
v^{4}\approx 0,676839362.
  • Agora
a_{\overline{4}|}=\frac{1-0,676839362}{0,1025}=\frac{0,323160638}{0,1025}\approx 3,1527868.
Explicação: a_{\overline{4}|} é o fator que transforma uma série de 4 pagamentos unitários em seu valor presente no tempo 0. Multiplicando por \$100 obtemos o PV das quatro prestações.

Passo 5

Calcular o valor presente das quatro prestações e daí a entrada.
  • Valor presente das quatro prestações de \$100:
\text{PV\_prestações}=100\cdot a_{\overline{4}|}\approx 100\cdot 3,1527868\approx 315,27868.çõ
  • Como o preço total é \$350, a entrada E deve satisfazer
E+\text{PV\_prestações}=350.çõ
  • Portanto
E=350-315,27868\approx 34,72132.
  • Arredondando para centavos (duas casas decimais): \$34,72.
Comentário amigável: olha só — a entrada é pequena porque as quatro parcelas, quando descontadas pelos juros de 10{,}25\% por bimestre, já cobrem quase todo o preço.

Resposta

\$34,72

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