O seguro de um automóvel pode ser pago à vista por
800
$128,83$. Considerando que está sendo cobrada uma taxa de juros nominal anualizada, calculá-la nas seguintes hipóteses sobre a capitalização dos juros:
a) mensal;
a) mensal;
Passo 1
O enunciado dá duas formas de pagamento do seguro:
- Pagamento à vista:
. - Pagamento em oito prestações mensais de
cada.
A pergunta que precisamos responder é:
- Qual é a taxa de juros nominal anual (com capitalização mensal) que faz com que as duas alternativas tenham o mesmo valor presente?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Valor à vista (valor presente):
. - Número de prestações:
(mensais). - Prestação mensal:
. - Queremos a taxa nominal anual
; tal que a taxa periódica mensal seja .
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (passo-a-passo didático e prático):
- Quando se tem uma série de pagamentos iguais (anuidade) pagas no final de cada período, o valor presente
dessas prestações pode ser calculado pela fórmula da anuidade imediata:
onde:
-
é o valor presente (no nosso caso ); -
é o valor de cada prestação (no nosso caso ); -
é a taxa de juros por período (aqui, taxa mensal que queremos encontrar); -
é o número de prestações (aqui ).
Explicando intuitivamente: a fração
é um fator que transforma uma série de pagamentos iguais em um único valor presente — ela “soma” os descontos de cada parcela até a data presente.
Passo 3
Montando a equação com os números do enunciado:
Primeiro isolamos o fator numérico dividindo ambos os lados por
:
Calculemos a razão do lado direito (aproximação suficiente para os passos numéricos seguintes):
Chamemos este valor de
, isto é:
Então a equação que precisamos resolver numericamente é
Passo 4
Por que precisamos de um método numérico e qual escolher?
- A equação acima é transcendental em
(aparece dentro de uma potência e também no denominador), então não dá para isolar com álgebra elementar. - Usaremos um método numérico simples e rápido: o método de Newton (método de Newton–Raphson). Ele converte a solução de
em iterações
- Definimos a função cuja raiz queremos:
- Precisamos também da derivada
. Fazendo a derivada (mostro o passo porque é importante entender): - Seja
. Então (porque a derivada de é , e o sinal troca). - Usando a regra do quociente para
obtemos
- Seja
- Para iniciar o método Newton precisamos de um palpite inicial razoável. Uma aproximação rápida (obtida da expansão em série para pequenas
) dá:
Substituindo
e
:
Esse
já é um palpite; usaremos Newton a partir dele (mas na prática usei um palpite um pouco maior para acelerar a convergência — no cálculo que segue mostro uma iteração com um palpite próximo de
e a convergência).
Passo 5
Aplicando Newton (iteração mostrada passo a passo, com números arredondados só para leitura; os cálculos usam precisão suficiente):
- Relembrando:
Vamos usar um palpite inicial prático
(isto é
ao mês), que já é próximo do valor real e facilita a convergência.
Iteração 1 (com
):
- Calcule
. - Então
. -
- Calcule
. -
- Correção de Newton:
. - Novo valor:
Iteração 2 (com
):
- Repetindo os mesmos passos com
obtemos uma correção muito pequena (algumas unidades em ) e a convergência rápida para:
Observação: mostrei a iteração 1 de forma detalhada; a iteração 2 é do mesmo tipo e leva a um ajuste residual muito pequeno. A solução numérica final com precisão prática para a prova é
(ou seja, cerca de
ao mês).
Passo 6
Convertendo a taxa mensal encontrada para a taxa nominal anual com capitalização mensal:
- A taxa nominal anual (com capitalização mensal) é simplesmente doze vezes a taxa mensal:
- Substituindo
:
Convertendo para porcentagem (usando vírgula como separador decimal):