Se \beta=\left\{v_{1}, v_{2}, v_{3}\right\} é uma base do espaço vetorial V e sabendo-se que
\left.u\right|_{\beta}=\left(\begin{array}{l} 1 \\\\ 2 \\\\ 3 \end{array}\right) \text { e }\left.w\right|_{\beta}=\left(\begin{array}{c} 1 \\\\ -1 \\\\ 0 \end{array}\right)
(a) Mostre que \left.(u+w)\right|_{\beta}=\left.u\right|_{\beta}+\left.w\right|_{\beta}=\left(\begin{array}{l}2 \\\\ 1 \\\\ 3\end{array}\right).
(b) Mostre que \left.(2 u-3 w)\right|_{\beta}=2\left(\left.u\right|_{\beta}\right)-3\left(\left.w\right|_{\beta}\right)=\left(\begin{array}{c}-1 \\\\ 7 \\\\ 6\end{array}\right).

Passo 1

O enunciado dá uma base \beta=\{v_{1},v_{2},v_{3}\} de V e as coordenadas de u e w nessa base:
u|_{\beta}=\begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 3\end{pmatrix},\qquad w|_{\beta}=\begin{pmatrix}1\\\ -1\\\ 0\end{pmatrix}.
Pede-se (a) as coordenadas de u+w e (b) as coordenadas de 2u-3w. O conteúdo usado é a linearidade da aplicação de coordenadas.

Passo 2

Sabemos que o mapeamento v\mapsto v|_{\beta} é linear, isto é, para quaisquer u,w\in V e escalar \alpha,
(u+w)|_{\beta}=u|_{\beta}+w|_{\beta}, \qquad (\alpha\,u)|_{\beta}=\alpha\,(u|_{\beta}).

Passo 3

Aplicando a adição de vetores de coordenadas:
(u+w)|_{\beta} = u|_{\beta} + w|_{\beta} = \begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 3\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}1\\\ -1\\\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\\ 1\\\ 3\end{pmatrix}.

Passo 4

Aplicando a combinação linear 2u-3w:
(2u-3w)|_{\beta} =2\bigl(u|_{\beta}\bigr)-3\bigl(w|_{\beta}\bigr) =2\begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 3\end{pmatrix} -3\begin{pmatrix}1\\\ -1\\\ 0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2\\\ 4\\\ 6\end{pmatrix} -\begin{pmatrix}3\\\ -3\\\ 0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-1\\\ 7\\\ 6\end{pmatrix}.

Resposta

(a) \left.(u+w)\right|_{\beta}=\begin{pmatrix}2\\\ 1\\\ 3\end{pmatrix}.
(b) \left.(2u-3w)\right|_{\beta}=\begin{pmatrix}-1\\\ 7\\\ 6\end{pmatrix}.

Exercícios relacionados