(a) Mostre que se
é linearmente independente, então
também é linearmente independente.
(b) Encontre uma base para o
de forma que os vetores
e
façam parte dessa base.
(b) Encontre uma base para o
Passo 1
O enunciado tem dois itens.
(a) Provar que, em um espaço vetorial, se é linearmente independente (LI), então também é LI o conjunto
. Aqui vamos usar a definição de independência linear: uma combinação linear nula só admite solução trivial.
(b) Em , dados os vetores
e
, encontrar uma base que os contenha. Precisamos completar esses dois vetores com um terceiro que não esteja no seu subespaço, garantindo uma base de dimensão 3.
(a) Provar que, em um espaço vetorial, se
(b) Em
Passo 2
Para (a), considere a combinação linear
Expanda e agrupe em
Como
é LI, os coeficientes devem ser nulos:
Somando as duas equações dá
. Como só há solução trivial,
é LI.
Passo 3
Para (b), basta escolher um vetor
que não esteja no span de
. Por exemplo, tome
Suponha, por contradição, que exista
tais que
Isso gera o sistema em coordenadas:
Das duas primeiras equações vem
e
, que implicam
. Mas então a terceira ficaria
, contradição. Logo
. Assim
é LI e, por ter 3 vetores em
, forma uma base.
Resposta
(a) Como a única solução de
é
, concluímos que
é linearmente independente.
(b) Uma escolha conveniente é
(b) Uma escolha conveniente é
que é base de
e contém
e
.