(a) Mostre que se \{u, v\} é linearmente independente, então \{u+v, u-v\} também é linearmente independente.
(b) Encontre uma base para o \mathbb{R}^{3} de forma que os vetores v_{1}=(1,2,3) e v_{2}=(3,2,1) façam parte dessa base.

Passo 1

O enunciado tem dois itens.
(a) Provar que, em um espaço vetorial, se \{u,v\} é linearmente independente (LI), então também é LI o conjunto \{u+v,\;u-v\}. Aqui vamos usar a definição de independência linear: uma combinação linear nula só admite solução trivial.
(b) Em \mathbb{R}^3, dados os vetores v_{1}=(1,2,3) e v_{2}=(3,2,1), encontrar uma base que os contenha. Precisamos completar esses dois vetores com um terceiro que não esteja no seu subespaço, garantindo uma base de dimensão 3.

Passo 2

Para (a), considere a combinação linear
\alpha\,(u+v)\;+\;\beta\,(u-v)\;=\;0.
Expanda e agrupe em u\) e \(v\): \[\alpha u+\alpha v+\beta u-\beta v =(\alpha+\beta)\,u+(\alpha-\beta)\,v =0.
Como \{u,v\} é LI, os coeficientes devem ser nulos:
\begin{cases} \alpha+\beta=0,\\\ \alpha-\beta=0. \end{cases}
Somando as duas equações dá 2\alpha=0\Rightarrow \alpha=0\], e subtraindo dá \(2\beta=0\Rightarrow \beta=0. Como só há solução trivial, \{u+v,u-v\} é LI.

Passo 3

Para (b), basta escolher um vetor w\in\mathbb{R}^3 que não esteja no span de \{v_1,v_2\}. Por exemplo, tome
w=(0,0,1).
Suponha, por contradição, que exista \alpha,\beta tais que
\alpha v_{1}+\beta v_{2}=w.
Isso gera o sistema em coordenadas:
(\alpha+3\beta,\;2\alpha+2\beta,\;3\alpha+\beta) =(0,0,1).
Das duas primeiras equações vem \alpha+\beta=0 e \alpha+3\beta=0, que implicam \alpha=\beta=0. Mas então a terceira ficaria 0=1, contradição. Logo w\not\in\mathrm{span}\{v_1,v_2\}. Assim \{v_1,v_2,w\} é LI e, por ter 3 vetores em \mathbb{R}^3, forma uma base.

Resposta

(a) Como a única solução de \alpha(u+v)+\beta(u-v)=0 é \alpha=\beta=0, concluímos que \{u+v,u-v\} é linearmente independente.
(b) Uma escolha conveniente é
\{(1,2,3),\,(3,2,1),\,(0,0,1)\},
que é base de \mathbb{R}^3 e contém v_1 e v_2.

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