Uma biomassa cobre o fundo triangular de um recipiente de vértices
até uma altura
em todos os pontos
da região, com todas dimensões em centímetros. Qual o volume da biomassa?
Passo 1
O enunciado pede o volume de uma biomassa que ocupa um prisma oblíquo: a base é o triângulo de vértices (0,0), (6,0) e (3,3) e a altura em cada ponto (x,y) é dada por
. O conteúdo é dupla integração em coordenadas cartesianas, usando a definição de volume como
.
Passo 2
A região triangular
no plano xy é limitada por três lados: a) o eixo
de
a
, b) a reta que liga (0,0) a (3,3), que é
para
, e c) a reta que liga (6,0) a (3,3), que é
para
.
Para montar a integral dupla, dividimos em duas partes: uma para
com
, e outra para
com
. Assim
Para montar a integral dupla, dividimos
Passo 3
Em cada parte, fazemos primeiro a integral em
:
Passo 4
Logo o volume se escreve como soma de duas integrais em
:
$$I_1=\int_{0}^{3}x\bigl(\ln(x+2)-\ln2\bigr),dx,\quad I_2=\int_{3}^{6}x\bigl(\ln(8-x)-\ln2\bigr),dx,
\quad V=I_1+I_2.$$
Passo 5
Para calcular
, usamos integração por partes em
. O resultado é
Passo 6
Para
, fazemos a substituição
e integramos por partes em
. Chegamos a
Passo 7
Somando
simplifica para