Uma biomassa cobre o fundo triangular de um recipiente de vértices (0,0),(6,0) e (3,3) até uma altura h(x, y)=xy+2 em todos os pontos (x, y) da região, com todas dimensões em centímetros. Qual o volume da biomassa?

Passo 1

O enunciado pede o volume de uma biomassa que ocupa um prisma oblíquo: a base é o triângulo de vértices (0,0), (6,0) e (3,3) e a altura em cada ponto (x,y) é dada por h(x,y)=xy+2. O conteúdo é dupla integração em coordenadas cartesianas, usando a definição de volume como V=integral duplaD h(x,y),dA.

Passo 2

A região triangular D no plano xy é limitada por três lados: a) o eixo y=0 de x=0 a x=6, b) a reta que liga (0,0) a (3,3), que é y=x para 0<= x<=3, e c) a reta que liga (6,0) a (3,3), que é y=-x+6 para 3<= x<=6.
Para montar a integral dupla, dividimos D em duas partes: uma para 0<= x<=3 com 0<= y<= x, e outra para 3<= x<=6 com 0<= y<= 6-x. Assim
V=integralx=0^3integraly=0^xxy+2 ,dy,dx ;+; integralx=3^6integraly=0^6-xxy+2 ,dy,dx

Passo 3

Em cada parte, fazemos primeiro a integral em y:
integral0^uxy+2 ,dy = xl[ln(y+2)r]0^u = xl(ln(u+2)-ln2r)

Passo 4

Logo o volume se escreve como soma de duas integrais em x:
$$I_1=\int_{0}^{3}x\bigl(\ln(x+2)-\ln2\bigr),dx,\quad I_2=\int_{3}^{6}x\bigl(\ln(8-x)-\ln2\bigr),dx,
\quad V=I_1+I_2.$$

Passo 5

Para calcular I1, usamos integração por partes em integral xln(x+2),dx. O resultado é
I1=52ln5 -52ln2 +34 = 52ln!52 +34

Passo 6

Para I2, fazemos a substituição t=8-x e integramos por partes em integral xln(8-x),dx. Chegamos a
I2=552ln5 -552ln2 -754 = 552ln!52 -754

Passo 7

Somando I1+I2 simplifica para
V=30ln!52 -18

Resposta

V=30ln!52-18 cm^3

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