Calcule o volume do sólido no primeiro octante, delimitado pelos planos
e
Passo 1
O exercício pede o volume do sólido no primeiro octante (ou seja, com x≥0, y≥0, z≥0) limitado pelas superfícies z = x + y + 2 (teto oblíquo), pelo plano vertical x + y = 2 e pelos planos coordenados. Vamos usar integração dupla: projetamos o sólido no plano xy e obtemos o volume como ∬_D (altura) dA.
Passo 2
Em primeiro lugar, identificamos a região de projeção D no plano xy. Como o sólido está no primeiro octante e é limitado lateralmente pelos planos x=0, y=0 e x + y = 2, a região D é o triângulo
[
D = {(x,y)\mid x\ge0, ;y\ge0,;x+y\le2}.
D = {(x,y)\mid x\ge0, ;y\ge0,;x+y\le2}.
Passo 3
A altura do sólido em cada ponto (x,y) é dada pela diferença entre o teto z = x + y + 2 e o piso z = 0. Logo, o volume é
Passo 4
Vamos escrever o integral em coordenadas cartesianas: x varia de 0 a 2, e para cada x, y varia de 0 a 2−x. Assim,
Passo 5
Calculamos primeiro a integral interna em relação a y. Para cada x fixo,
Isso dá
Passo 6
Agora integramos em x de 0 a 2. Simplificando o integrando:
Então
Passo 7
Fazendo a integral em x:
Somando tudo: