Calcule o volume do sólido no primeiro octante, delimitado pelos planos z=x+ y+2 e x+y=2

Passo 1

O exercício pede o volume do sólido no primeiro octante (ou seja, com x≥0, y≥0, z≥0) limitado pelas superfícies z = x + y + 2 (teto oblíquo), pelo plano vertical x + y = 2 e pelos planos coordenados. Vamos usar integração dupla: projetamos o sólido no plano xy e obtemos o volume como ∬_D (altura) dA.

Passo 2

Em primeiro lugar, identificamos a região de projeção D no plano xy. Como o sólido está no primeiro octante e é limitado lateralmente pelos planos x=0, y=0 e x + y = 2, a região D é o triângulo
[
D = {(x,y)\mid x\ge0, ;y\ge0,;x+y\le2}.

Passo 3

A altura do sólido em cada ponto (x,y) é dada pela diferença entre o teto z = x + y + 2 e o piso z = 0. Logo, o volume é
V = integral duplaD (x + y + 2),dA

Passo 4

Vamos escrever o integral em coordenadas cartesianas: x varia de 0 a 2, e para cada x, y varia de 0 a 2−x. Assim,
V = integralx=0^2 integraly=0^2-x (x + y + 2),dy,dx

Passo 5

Calculamos primeiro a integral interna em relação a y. Para cada x fixo,
integraly=0^2-x (x + y + 2),dy = integral0^2-x x,dy + integral0^2-x y,dy + integral0^2-x 2,dy
Isso dá
x(2 - x) + (2 - x)^22 + 2(2 - x)

Passo 6

Agora integramos em x de 0 a 2. Simplificando o integrando:
x(2 - x) + (2 - x)^22 + 2(2 - x) = -tfrac12 x^2 - 2x + 6
Então
V = integral0^2 l(-tfrac12 x^2 - 2x + 6r),dx

Passo 7

Fazendo a integral em x:
integral0^2 -tfrac12 x^2,dx = -12 cdot 2^33 = -43,
integral0^2 -2x,dx = -2 cdot 2^22 = -4,
integral0^2 6,dx = 6 cdot 2 = 12
Somando tudo:
V = -tfrac43 - 4 + 12 = 203

Resposta

V = tfrac203

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