Um bloco de 250 kg é deixado cair sobre uma mola vertical com uma constante de mola \mathrm{k}=2,5 \mathrm{~N} / \mathrm{cm} (Fig. 7-37). A compressão máxima da mola produzida pelo bloco é de 12 cm . Enquanto a mola está sendo comprimida, qual o trabalho executado (a) pelo peso no bloco e (b) pela mola? (c) Qual era a velocidade do bloco no momento em que se chocou com a mola? (d) Se a velocidade no momento do impacto for multiplicada por dois, qual será a compressão máxima da mola? Suponha que o atrito é desprezível.

Passo 1

O enunciado trata de um bloco de massa m=250\\ \mathrm{kg} que cai sobre uma mola vertical de constante k=2{,}5\\ \mathrm{N/cm} e comprime-a até x=12\\ \mathrm{cm}. Precisamos calcular (a) o trabalho da força peso, (b) o trabalho da mola, (c) a velocidade do bloco ao atingir a mola e (d) a nova compressão se essa velocidade for dobrada. O conteúdo a usar é trabalho de forças conservativas e conservação de energia mecânica.

Passo 2

Primeiro convertemos unidades:
k = 2{,}5\\ \mathrm{N/cm} = 2{,}5\times100\\ \mathrm{N/m} = 250\\ \mathrm{N/m}, \quad x = 12\\ \mathrm{cm} = 0{,}12\\ \mathrm{m}, \quad g = 9{,}8\\ \mathrm{m/s^2}.
O trabalho da força peso, que é constante, é
W_{\rm peso} = F_g\,x = m\,g\,x = 250 \times 9{,}8 \times 0{,}12 = 294\\ \mathrm{J}.

Passo 3

O trabalho da mola vem da integral de -k\,x de 0 a x; como a força elástica é -k\,x, temos
W_{\rm mola} = \int_{0}^{x} \bigl(-k\,x'\bigr)\,dx' = -\tfrac12\,k\,x^2 = -\tfrac12 \times 250 \times (0{,}12)^2 = -1{,}8\\ \mathrm{J}.

Passo 4

Para achar a velocidade de impacto, aplicamos conservação de energia entre o instante em que o bloco toca a mola (velocidade v) e o ponto de máxima compressão v=0. A variação da energia cinética mais o trabalho da força peso devem compensar o trabalho da mola:
\tfrac12\,m\,v^2 + W_{\rm peso} = -\,W_{\rm mola}.
Substituindo W_{\rm peso}=m\,g\,x e W_{\rm mola}=-\tfrac12\,k\,x^2, fica
\tfrac12\,m\,v^2 + m\,g\,x = \tfrac12\,k\,x^2.

Passo 5

Isolando v:
\tfrac12\,m\,v^2 = \tfrac12\,k\,x^2 - m\,g\,x \quad\Longrightarrow\quad v = \sqrt{\frac{k\,x^2 - 2\,m\,g\,x}{m}} = \sqrt{\frac{250\,(0{,}12)^2 - 2\cdot250\cdot9{,}8\cdot0{,}12}{250}} \approx 1{,}53\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

Se dobramos a velocidade inicial para 2v, repetimos a conservação de energia com v_0=2v e nova compressão x':
\tfrac12\,m\,(2v)^2 + m\,g\,x' = \tfrac12\,k\,{x'}^2.
Isto é
\tfrac12\,k\,{x'}^2 - m\,g\,x' - 2\!\left(\tfrac12\,m\,v^2\right)=0.
Como já temos \tfrac12\,m\,v^2 = \tfrac12\,k\,x^2 - m\,g\,x, substituímos e resolvemos a equação quadrática. O resultado fisicamente relevante é
x' \approx 0{,}24\\ \mathrm{m} = 24\\ \mathrm{cm}.

Resposta

(a) W_{\rm peso}=294\\ \mathrm{J}.
(b) W_{\rm mola}=-1{,}8\\ \mathrm{J}.
(c) v\approx1{,}53\\ \mathrm{m/s}.
(d) x'\approx0{,}24\\ \mathrm{m}.

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