Um bloco de gelo flutua sobre um lago de água doce. Qual deve ser o volume mínimo do bloco para que uma pessoa de 70 kg possa ficar em pé sobre o bloco sem molhar os pés? Dados: as densidades do gelo e da água doce iguais a
e 1.000
.
Passo 1
O enunciado pede o volume mínimo de um bloco de gelo para que uma pessoa de
possa ficar em pé sobre ele sem molhar os pés. Dados fornecidos:
e
. A massa da pessoa é
.
Informação importante: precisamos que o bloco não fique totalmente submerso quando a pessoa estiver em pé sobre ele (ou seja, o topo do bloco deve permanecer acima da superfície da água).
Informação importante: precisamos que o bloco não fique totalmente submerso quando a pessoa estiver em pé sobre ele (ou seja, o topo do bloco deve permanecer acima da superfície da água).
Passo 2
Conceito chave (aula rápida e prática): Princípio de Arquimedes. Ele diz que a força de empuxo (a força para cima que a água exerce sobre o bloco) é igual ao peso do volume de água deslocado pelo bloco. Em fórmulas:
onde
é a densidade da água,
é o volume do bloco que está submerso e
é a aceleração da gravidade.
O peso total que precisa ser equilibrado (que puxa para baixo) é a soma do peso do bloco de gelo e o peso da pessoa:
O peso total que precisa ser equilibrado (que puxa para baixo) é a soma do peso do bloco de gelo e o peso da pessoa:
onde
é o volume total do bloco (variável que queremos achar) e
é o peso do gelo. Note que todas as grandezas de peso têm o fator
; ele vai se cancelar na equação de equilíbrio.
Passo 3
Condição de equilíbrio (flutuação estática): empuxo igual ao peso total:
Para a pessoa não molhar os pés precisamos que o topo do bloco fique acima da água, isto é
. O caso limite (volume mínimo) ocorre quando o bloco está exatamente com o topo no nível da água ao suportar a pessoa; nesse limite temos
. Assim, para achar o volume mínimo adotamos a igualdade limite:
Passo 4
Resolver a equação acima para
. Primeiro agrupamos termos com
:
Fatorando
:
Isolando
:
Explicando cada símbolo:
é o volume do bloco em
;
é a massa da pessoa (em
);
e
são densidades em
. As unidades conferem:
.
Passo 5
Agora substituímos os valores numéricos:
Calcule o denominador:
Portanto
Interpretação prática:
é o volume mínimo para que, no caso limite, o topo do bloco fique no nível da água ao suportar a pessoa. Se você quiser uma margem de segurança para garantir que os pés fiquem claramente secos (topo alguns centímetros acima da água), escolha um volume um pouco maior; por exemplo, aumentar alguns por cento já dá folga.