Um bloco de gelo flutua sobre um lago de água doce. Qual deve ser o volume mínimo do bloco para que uma pessoa de 70 kg possa ficar em pé sobre o bloco sem molhar os pés? Dados: as densidades do gelo e da água doce iguais a 920 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} e 1.000 \mathrm{kg} / \mathrm{m}^{3}.

Passo 1

O enunciado pede o volume mínimo de um bloco de gelo para que uma pessoa de 70\\ \mathrm{kg} possa ficar em pé sobre ele sem molhar os pés. Dados fornecidos:
\rho_{\text{gelo}} = 920\\ \mathrm{kg/m^{3}} e \rho_{\text{água}} = 1000\\ \mathrm{kg/m^{3}}á. A massa da pessoa é m=70\\ \mathrm{kg}.
Informação importante: precisamos que o bloco não fique totalmente submerso quando a pessoa estiver em pé sobre ele (ou seja, o topo do bloco deve permanecer acima da superfície da água).

Passo 2

Conceito chave (aula rápida e prática): Princípio de Arquimedes. Ele diz que a força de empuxo (a força para cima que a água exerce sobre o bloco) é igual ao peso do volume de água deslocado pelo bloco. Em fórmulas:
F_{\text{empuxo}} = \rho_{\text{água}} V_{\text{sub}} g,á
onde \rho_{\text{água}}á é a densidade da água, V_{\text{sub}} é o volume do bloco que está submerso e g é a aceleração da gravidade.
O peso total que precisa ser equilibrado (que puxa para baixo) é a soma do peso do bloco de gelo e o peso da pessoa:
W_{\text{total}} = m g + \rho_{\text{gelo}} V g,
onde V é o volume total do bloco (variável que queremos achar) e \rho_{\text{gelo}} V g é o peso do gelo. Note que todas as grandezas de peso têm o fator g; ele vai se cancelar na equação de equilíbrio.

Passo 3

Condição de equilíbrio (flutuação estática): empuxo igual ao peso total:
\rho_{\text{água}} V_{\text{sub}} g = m g + \rho_{\text{gelo}} V g.á
Para a pessoa não molhar os pés precisamos que o topo do bloco fique acima da água, isto é V_{\text{sub}} < V. O caso limite (volume mínimo) ocorre quando o bloco está exatamente com o topo no nível da água ao suportar a pessoa; nesse limite temos V_{\text{sub}} = V. Assim, para achar o volume mínimo adotamos a igualdade limite:
\rho_{\text{água}} V = m + \rho_{\text{gelo}} V.á

Passo 4

Resolver a equação acima para V. Primeiro agrupamos termos com V:
\rho_{\text{água}} V - \rho_{\text{gelo}} V = m.á
Fatorando V:
(\rho_{\text{água}} - \rho_{\text{gelo}})\,V = m.á
Isolando V:
V = \frac{m}{\rho_{\text{água}} - \rho_{\text{gelo}}}.á
Explicando cada símbolo: V é o volume do bloco em \mathrm{m^{3}}; m é a massa da pessoa (em \mathrm{kg}); \rho_{\text{água}}á e \rho_{\text{gelo}} são densidades em \mathrm{kg/m^{3}}. As unidades conferem: \mathrm{kg} / (\mathrm{kg/m^{3}}) = \mathrm{m^{3}}.

Passo 5

Agora substituímos os valores numéricos:
V = \frac{70}{1000 - 920}\\ \mathrm{m^{3}}.
Calcule o denominador:
1000 - 920 = 80\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
Portanto
V = \frac{70}{80}\\ \mathrm{m^{3}} = 0{,}875\\ \mathrm{m^{3}}.
Interpretação prática: 0{,}875\\ \mathrm{m^{3}} é o volume mínimo para que, no caso limite, o topo do bloco fique no nível da água ao suportar a pessoa. Se você quiser uma margem de segurança para garantir que os pés fiquem claramente secos (topo alguns centímetros acima da água), escolha um volume um pouco maior; por exemplo, aumentar alguns por cento já dá folga.

Resposta

0{,}875\\ \mathrm{m^{3}}

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