[3p] Encontre os máximos e mínimos absolutos da função
f:\left[\frac{1}{2}, 4\right] \rightarrow \mathbb{R}, \quad f(x)=f(x)=\frac{x^{2}+1}{x}

Passo 1

O enunciado dá a função
f:\left[\frac{1}{2},4\right]\to\mathbb{R},\qquad f(x)=\frac{x^{2}+1}{x}
e pede para encontrar os máximos e mínimos absolutos dessa função no intervalo \left[\frac{1}{2},4\right].
Informações relevantes do enunciado:
\;1.\ o domínio onde precisamos buscar extremos é o intervalo fechado \left[\frac{1}{2},4\right].
\;2.\ a regra da função é f(x)=\dfrac{x^{2}+1}{x}.
\;3.\ precisamos identificar pontos onde a função atinge valor máximo absoluto e valor mínimo absoluto dentro desse intervalo (pontos interiores ou nas extremidades).

Passo 2

Estratégia (procedimento que usamos para funções em intervalo fechado — explicação didática):
Uma função contínua num intervalo fechado atinge valores máximo e mínimo absolutos (Teorema do Valor Extremo). Para encontrá‑los na prática fazemos:
\;a.\ calcular a derivada f'(x);
\;b.\ achar os pontos críticos no interior do intervalo, isto é, os x tais que f'(x)=0 ou onde f' não existe (desde que estejam no intervalo);
\;c.\ avaliar f nos pontos críticos encontrados e também nas extremidades do intervalo ( x=\tfrac{1}{2} e x=4);
\;d.\ comparar esses valores; o maior será o máximo absoluto e o menor será o mínimo absoluto.
Vou aplicar esse procedimento passo a passo. Antes, uma simplificação algébrica que facilita a derivação: reescrevemos f(x) como soma, porque dividir x^2 e 1 por x é fácil.

Passo 3

Simplificação da função e cálculo da derivada — fizemos contas bem explícitas:
f(x)=\frac{x^{2}+1}{x}=\frac{x^{2}}{x}+\frac{1}{x}=x+\frac{1}{x}.
Agora derivamos termo a termo. Relembrando regras simples: a derivada de x é 1. A derivada de x^{-1} é -1\cdot x^{-2}=-\dfrac{1}{x^{2}}. Aplicando isso:
f'(x)=1-\frac{1}{x^{2}}.
Observação didática: escrevi 1/x como x^{-1} mentalmente para usar a regra da potência ( \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}), mas o resultado foi mostrado de forma direta.

Passo 4

Encontrar pontos críticos resolvendo f'(x)=0 e verificando onde f' não existe:
f'(x)=1-\frac{1}{x^{2}}=0.
Passos para resolver a equação:
1=\frac{1}{x^{2}}
x^{2}=1
x=\pm 1.
Como nosso intervalo é \left[\frac{1}{2},4\right], somente x=1 está no intervalo. Além disso, f'(x) é indefinida apenas em x=0, que não pertence ao intervalo, então não há outros pontos críticos a considerar. Portanto o único ponto crítico no intervalo é x=1.

Passo 5

Avaliar f nas candidatas (pontos críticos e extremidades). Temos de avaliar em x=\tfrac{1}{2}, x=1 e x=4.
Calculemos com calma cada valor:
  1. Para x=1:
f(1)=\frac{1^{2}+1}{1}=\frac{2}{1}=2.
  1. Para x=\tfrac{1}{2}: primeiro calcule o numerador x^{2}+1. \left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}=\tfrac{1}{4}, então
f\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=\frac{\tfrac{1}{4}+1}{\tfrac{1}{2}}=\frac{\tfrac{5}{4}}{\tfrac{1}{2}}=\tfrac{5}{4}\cdot\tfrac{2}{1}=\tfrac{5}{2}.
Em forma decimal isso é 2,5.
  1. Para x=4:
f(4)=\frac{4^{2}+1}{4}=\frac{16+1}{4}=\frac{17}{4}.
Em forma decimal isso é 4,25.

Passo 6

Classificação dos valores obtidos — comparação e confirmação:
Os valores encontrados são
f\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=\tfrac{5}{2}=2,5,\qquad f(1)=2,\qquad f(4)=\tfrac{17}{4}=4,25.
Comparando:
\;2 (em x=1) é o menor entre os três; \;\tfrac{17}{4} (em x=4) é o maior.
Opcional — verificação local via segunda derivada (para ganhar confiança): derivando novamente f'(x)=1-\dfrac{1}{x^{2}} obtemos
f''(x)=\frac{2}{x^{3}}.
Em x=1 temos f''(1)=2>0, o que indica que x=1 é um mínimo local; como já vimos que seu valor é o menor entre os candidatos, é também mínimo absoluto no intervalo. Em x=4 não havia ponto crítico, mas como é o valor máximo entre os candidatos, é máximo absoluto (e a continuidade + intervalo fechado garantem que o máximo absoluto ocorre em algum candidato).

Passo 7

Conclusão final: o mínimo absoluto ocorre em x=1 com valor 2. O máximo absoluto ocorre em x=4 com valor \tfrac{17}{4}.

Resposta

Mínimo absoluto: f(1)=2
Máximo absoluto: f(4)=\dfrac{17}{4}

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