[3p] Encontre os máximos e mínimos absolutos da função
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para encontrar os máximos e mínimos absolutos dessa função no intervalo
.
Informações relevantes do enunciado:
\ o domínio onde precisamos buscar extremos é o intervalo fechado
.
\ a regra da função é
.
\ precisamos identificar pontos onde a função atinge valor máximo absoluto e valor mínimo absoluto dentro desse intervalo (pontos interiores ou nas extremidades).
Passo 2
Estratégia (procedimento que usamos para funções em intervalo fechado — explicação didática):
Uma função contínua num intervalo fechado atinge valores máximo e mínimo absolutos (Teorema do Valor Extremo). Para encontrá‑los na prática fazemos:
\ calcular a derivada
;
\ achar os pontos críticos no interior do intervalo, isto é, os
tais que
ou onde
não existe (desde que estejam no intervalo);
\ avaliar
nos pontos críticos encontrados e também nas extremidades do intervalo (
e
);
\ comparar esses valores; o maior será o máximo absoluto e o menor será o mínimo absoluto.
Uma função contínua num intervalo fechado atinge valores máximo e mínimo absolutos (Teorema do Valor Extremo). Para encontrá‑los na prática fazemos:
Vou aplicar esse procedimento passo a passo. Antes, uma simplificação algébrica que facilita a derivação: reescrevemos
como soma, porque dividir
e
por
é fácil.
Passo 3
Simplificação da função e cálculo da derivada — fizemos contas bem explícitas:
Agora derivamos termo a termo. Relembrando regras simples: a derivada de
é
. A derivada de
é
. Aplicando isso:
Observação didática: escrevi
como
mentalmente para usar a regra da potência (
), mas o resultado foi mostrado de forma direta.
Passo 4
Encontrar pontos críticos resolvendo
e verificando onde
não existe:
Passos para resolver a equação:
Como nosso intervalo é
, somente
está no intervalo. Além disso,
é indefinida apenas em
, que não pertence ao intervalo, então não há outros pontos críticos a considerar. Portanto o único ponto crítico no intervalo é
.
Passo 5
Avaliar
nas candidatas (pontos críticos e extremidades). Temos de avaliar em
,
e
.
Calculemos com calma cada valor:
- Para
:
- Para
: primeiro calcule o numerador . , então
Em forma decimal isso é
.
- Para
:
Em forma decimal isso é
.
Passo 6
Classificação dos valores obtidos — comparação e confirmação:
Os valores encontrados são
Os valores encontrados são
Comparando:
(em
) é o menor entre os três;
(em
) é o maior.
Opcional — verificação local via segunda derivada (para ganhar confiança): derivando novamente
obtemos
Em
temos
, o que indica que
é um mínimo local; como já vimos que seu valor é o menor entre os candidatos, é também mínimo absoluto no intervalo. Em
não havia ponto crítico, mas como é o valor máximo entre os candidatos, é máximo absoluto (e a continuidade + intervalo fechado garantem que o máximo absoluto ocorre em algum candidato).
Passo 7
Conclusão final: o mínimo absoluto ocorre em
com valor
. O máximo absoluto ocorre em
com valor
.
Resposta
Mínimo absoluto:
Máximo absoluto:
Máximo absoluto: