Um bloco de gelo de massa igual a 200 g é colocado em um calorímetro ideal contendo 1 kg de água a uma temperatura de 2^{\circ} \mathrm{C}. Ao atingir o equilíbrio térmico, verifica-se um aumento de 10 g na massa de água do calorímetro. Considerando o calor específico do gelo igual à metade do calor específico da água ( c_{\text {água }}=1 \mathrm{cal} / \mathrm{g}^{\circ} \mathrm{C}á ), o calor latente de fusão do gelo igual a 80 \mathrm{cal} / \mathrm{g}, e desprezando a capacidade térmica do calorímetro, qual é a temperatura inicial do gelo?
a) -28^{\circ} \mathrm{C}
b) -14^{\circ} \mathrm{C}
c) -12^{\circ} \mathrm{C}
d) -10^{\circ} \mathrm{C}
e) 0^{\circ} \mathrm{C}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • Massa do bloco de gelo: m_i=200\\ \mathrm{g}.
  • Massa inicial da água no calorímetro: m_w=1000\\ \mathrm{g}.
  • Temperatura inicial da água: T_{w,i}=2^{\circ}\mathrm{C}.
  • Ao atingir o equilíbrio, a massa de água no calorímetro aumentou 10\\ \mathrm{g}. Ou seja, a massa de gelo que se fundiu foi m_m=10\\ \mathrm{g}.
  • Calor específico da água: c_{\text{água}}=1\\ \mathrm{cal}/\mathrm{g}^{\circ}\mathrm{C}á.
  • Calor específico do gelo: c_{\text{gelo}}=\tfrac{1}{2}c_{\text{água}}=\tfrac{1}{2}\\ \mathrm{cal}/\mathrm{g}^{\circ}\mathrm{C}á.
  • Calor latente de fusão do gelo: L_f=80\\ \mathrm{cal}/\mathrm{g}.
  • Despreza-se a capacidade térmica do calorímetro.
O que o enunciado pede:
  • Determinar a temperatura inicial do gelo T_{i} (opções: -28^{\circ}\mathrm{C},-14^{\circ}\mathrm{C},-12^{\circ}\mathrm{C},-10^{\circ}\mathrm{C},0^{\circ}\mathrm{C}).

Passo 2

Entendimento físico (essencial para montar a equação de balanço de energia):
  • Depois do processo, parte do gelo fundiu-se: m_m=10\\ \mathrm{g}. Como ainda resta gelo ( m_i-m_m=190\\ \mathrm{g}>0 ), gelo sólido e água líquida coexistem no equilíbrio. Para água pura essa coexistência acontece exatamente à temperatura de fusão, ou seja, a temperatura final do sistema é
T_f=0^{\circ}\mathrm{C}.
  • Explicando de forma simples: se sobra gelo sólido ao final, a temperatura não pode ficar abaixo de 0^{\circ}\mathrm{C} (porque o gelo estaria mais frio) nem acima de 0^{\circ}\mathrm{C} (porque todo o gelo teria derretido). Portanto T_f=0^{\circ}\mathrm{C}.

Passo 3

Montando o balanço de energia (fórmulas e definições):
  • Convenção de sinais: o calor perdido pela água é positivo na conta do lado esquerdo e igual ao calor absorvido pelo gelo no lado direito.
  • Calor cedido pela água ao esfriar de T_{w,i} até T_f:
Q_{\text{água}}=m_w\,c_{\text{água}}\,(T_{w,i}-T_f).áá
  • Calor absorvido pelo gelo tem duas contribuições:
    1. Aquecer todo o gelo de T_i até 0^{\circ}\mathrm{C}: como parte do gelo derreteu e parte não, mas ambos foram aquecidos de T_i até 0^{\circ}\mathrm{C}, a contribuição é
    Q_{\text{aquecimento}}=m_i\,c_{\text{gelo}}\,(0-T_i).
    1. Energia necessária para fundir a massa m_m que efetivamente derreteu:
    Q_{\text{fusão}}=m_m\,L_f.ã
  • Balanço de energia (negligenciando o calor do calorímetro):
Q_{\text{água}}=Q_{\text{aquecimento}}+Q_{\text{fusão}}.áã

Passo 4

Substituindo as expressões e os valores conhecidos na equação do balanço:
  • Escrever a equação com símbolos:
m_w\,c_{\text{água}}\,(T_{w,i}-T_f)=m_i\,c_{\text{gelo}}\,(0-T_i)+m_m\,L_f.á
  • Agora substituir os números (tudo em \mathrm{g}, \mathrm{cal}, ^\circ\mathrm{C}):
1000\cdot 1\cdot(2-0)=200\cdot\frac{1}{2}\cdot(0-T_i)+10\cdot 80.

Passo 5

Fazer as contas passo a passo:
  • Calor cedido pela água:
1000\cdot 1\cdot 2=2000\\ \mathrm{cal}.
  • Termo de aquecimento do gelo:
200\cdot\frac{1}{2}\cdot(0-T_i)=100\cdot(-T_i).
  • Termo de fusão:
10\cdot 80=800\\ \mathrm{cal}.
  • Então a equação numérica fica
2000=100(-T_i)+800.

Passo 6

Isolar T_i e resolver:
  • Subtrair 800 dos dois lados:
2000-800=100(-T_i)
1200=100(-T_i)
  • Dividir por 100:
- T_i=12
  • Logo
T_i=-12^{\circ}\mathrm{C}.

Passo 7

Verificação rápida de coerência:
  • A temperatura encontrada é menor que 0^{\circ}\mathrm{C} (faz sentido para gelo).
  • A energia liberada pela água ( 2000\\ \mathrm{cal} ) é suficiente para aquecer o gelo e fundir apenas 10\\ \mathrm{g}, conforme dado. Resultado consistente.

Resposta

c) -12^{\circ}\mathrm{C}

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