Um bloco de massa
, ligado a mola com
, executa um MHS com energia de 10 J . Considerando que a posição inicial é positiva e que a velocidade inicial é positiva e igual a metade da velocidade máxima, determine: (a) a frequência angular de oscilação do sistema; (b) a amplitude de oscilação; (c) a posição inicial e a velocidade inicial; (d) a constante de fase; (e) a equação de movimento
.
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e faz estas perguntas.
Dados:
A posição inicial é positiva e a velocidade inicial é positiva e igual à metade da velocidade máxima do movimento.
Perguntas:
(a) Determinar a frequência angular de oscilação.
(b) Determinar a amplitude de oscilação.
(c) Determinar a posição inicial e a velocidade inicial
.
(d) Determinar a constante de fase (fase inicial).
(e) Escrever a equação do movimento .
(a) Determinar a frequência angular de oscilação.
(b) Determinar a amplitude de oscilação.
(c) Determinar a posição inicial
(d) Determinar a constante de fase (fase inicial).
(e) Escrever a equação do movimento
Passo 2
Primeira fórmula útil — frequência angular do oscilador harmônico simples. Para uma massa presa numa mola sem amortecimento a frequência angular
é
Aqui
é a taxa, em rad/s, com que o sistema oscila;
é a constante elástica da mola e
é a massa. Vou calcular
com os dados fornecidos:
Isso responde (a).
Passo 3
Agora a amplitude. Em MHS a energia total
(sem perdas) é constante e, na amplitude, toda a energia é energia potencial elástica. A expressão é
onde
é a amplitude. Isolando
,
Explico:
é a energia armazenada na mola quando a massa está na amplitude (velocidade zero). Substituindo:
Isso responde (b).
Passo 4
Velocidade máxima e velocidade inicial. A velocidade máxima no MHS é dada por
Explico: energia cinética máxima ocorre quando a massa passa pela posição de equilíbrio; então
. Como
e
, isso leva a
. Calculando:
Como o enunciado diz que a velocidade inicial é metade da máxima e positiva,
Passo 5
Posição inicial usando conservação de energia. A energia em um instante qualquer tem duas parcelas:
No instante inicial
usamos
e
. Isolando
,
Agora substituo os números. Primeiro calculo
. Como
,
Então
logo
Escolhi o sinal positivo porque o enunciado diz que a posição inicial é positiva. Assim respondemos (c):
e
.
Passo 6
Constante de fase (fase inicial). A forma geral do movimento é
A velocidade é a derivada temporal:
Em
temos duas equações:
Posso obter
e
diretamente:
Esses valores correspondem a
(ou, equivalentemente,
); escolho a forma
porque dá
e
, compatível com
e
(lembre que
, então
deve ser negativo para
positivo). Em graus,
.
Isso responde (d):
.
Passo 7
Equação de movimento final. Substituindo
,
e
na forma
, obtemos
Como verificação rápida: em
isso dá
e
que é consistente com os dados. Pronto — isso responde (e).
Resposta
(a)
(b)
(c) \
(d) (ou
)
(e)
(b)
(c)
(d)
(e)