(2,5) Um bloco de massa m=0,50 \mathrm{~kg}, ligado a mola com k=500 \mathrm{~N} / \mathrm{m}, executa um MHS com energia de 10 J . Considerando que a posição inicial é positiva e que a velocidade inicial é positiva e igual a metade da velocidade máxima, determine: (a) a frequência angular de oscilação do sistema; (b) a amplitude de oscilação; (c) a posição inicial e a velocidade inicial; (d) a constante de fase; (e) a equação de movimento x(t).

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e faz estas perguntas.
Dados:
m=0,50\\ \mathrm{kg},\qquad k=500\\ \mathrm{N/m},\qquad E=10\\ \mathrm{J}.
A posição inicial é positiva e a velocidade inicial é positiva e igual à metade da velocidade máxima do movimento.
Perguntas:
(a) Determinar a frequência angular de oscilação.
(b) Determinar a amplitude de oscilação.
(c) Determinar a posição inicial x(0) e a velocidade inicial v(0).
(d) Determinar a constante de fase (fase inicial).
(e) Escrever a equação do movimento x(t).

Passo 2

Primeira fórmula útil — frequência angular do oscilador harmônico simples. Para uma massa presa numa mola sem amortecimento a frequência angular \omega é
\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}.
Aqui \omega é a taxa, em rad/s, com que o sistema oscila; k é a constante elástica da mola e m é a massa. Vou calcular \omega com os dados fornecidos:
\omega=\sqrt{\frac{500}{0,50}}=\sqrt{1000}=10\sqrt{10}\approx 31,62\\ \mathrm{rad/s}.
Isso responde (a).

Passo 3

Agora a amplitude. Em MHS a energia total E (sem perdas) é constante e, na amplitude, toda a energia é energia potencial elástica. A expressão é
E=\frac{1}{2}kA^2,
onde A é a amplitude. Isolando A,
A=\sqrt{\frac{2E}{k}}.
Explico: \frac{1}{2}kA^2 é a energia armazenada na mola quando a massa está na amplitude (velocidade zero). Substituindo:
A=\sqrt{\frac{2\cdot 10}{500}}=\sqrt{\frac{20}{500}}=\sqrt{0,04}=0,20\\ \mathrm{m}.
Isso responde (b).

Passo 4

Velocidade máxima e velocidade inicial. A velocidade máxima no MHS é dada por
v_{\max}=\omega A.
Explico: energia cinética máxima ocorre quando a massa passa pela posição de equilíbrio; então E=\tfrac{1}{2}m v_{\max}^2. Como E=\tfrac{1}{2}kA^2 e \omega=\sqrt{k/m}, isso leva a v_{\max}=\omega A. Calculando:
v_{\max}=\left(10\sqrt{10}\right)\cdot 0,20=\sqrt{\frac{2E}{m}}=\sqrt{\frac{20}{0,50}}=\sqrt{40}\approx 6,3246\\ \mathrm{m/s}.
Como o enunciado diz que a velocidade inicial é metade da máxima e positiva,
v(0)=v_0=\frac{1}{2}v_{\max}\approx\frac{1}{2}\cdot 6,3246\approx 3,1623\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Posição inicial usando conservação de energia. A energia em um instante qualquer tem duas parcelas:
E=\frac{1}{2}k x^2+\frac{1}{2}m v^2.
No instante inicial t=0 usamos x(0)=x_0 e v(0)=v_0. Isolando x_0,
\frac{1}{2}k x_0^2=E-\frac{1}{2}m v_0^2 \quad\Rightarrow\quad x_0=\sqrt{\frac{2}{k}\left(E-\frac{1}{2}m v_0^2\right)}.
Agora substituo os números. Primeiro calculo \tfrac{1}{2}m v_0^2. Como v_0^2\approx(3,1623)^2=10,
\frac{1}{2}m v_0^2=\frac{1}{2}\cdot 0,50\cdot 10=0,25\cdot 10=2,5\\ \mathrm{J}.
Então
\frac{1}{2}k x_0^2=10-2,5=7,5\\ \mathrm{J} \quad\Rightarrow\quad x_0^2=\frac{2\cdot 7,5}{500}=\frac{15}{500}=0,03,
logo
x_0=+\sqrt{0,03}\approx 0,17321\\ \mathrm{m}.
Escolhi o sinal positivo porque o enunciado diz que a posição inicial é positiva. Assim respondemos (c): x(0)\approx 0,17321\\ \mathrm{m} e v(0)\approx 3,1623\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

Constante de fase (fase inicial). A forma geral do movimento é
x(t)=A\cos\bigl(\omega t+\varphi\bigr).
A velocidade é a derivada temporal:
v(t)=-A\omega\sin\bigl(\omega t+\varphi\bigr).
Em t=0 temos duas equações:
x_0=A\cos\varphi,\qquad v_0=-A\omega\sin\varphi.
Posso obter \cos\varphi e \sin\varphi diretamente:
\cos\varphi=\frac{x_0}{A}=\frac{0,17321}{0,20}=0,866025\approx\frac{\sqrt{3}}{2},
\sin\varphi=-\frac{v_0}{A\omega}=-\frac{v_0}{v_{\max}}=-\frac{1}{2}=-0,5.
Esses valores correspondem a \varphi=-\pi/6 (ou, equivalentemente, \varphi=11\pi/6); escolho a forma \varphi=-\pi/6 porque dá \cos\varphi>0 e \sin\varphi<0, compatível com x_0>0 e v_0>0 (lembre que v_0=-A\omega\sin\varphi, então \sin\varphi deve ser negativo para v_0 positivo). Em graus, \varphi=-30^\circ.
Isso responde (d): \varphi=-\pi/6.

Passo 7

Equação de movimento final. Substituindo A, \omega e \varphi na forma x(t)=A\cos(\omega t+\varphi), obtemos
x(t)=0,20\cos\!\Bigl(10\sqrt{10}\,t-\frac{\pi}{6}\Bigr)\\ \mathrm{m}.
Como verificação rápida: em t=0 isso dá x(0)=0,20\cos(-\pi/6)=0,20\cdot 0,866025\approx 0,17321\\ \mathrm{m} e
v(0)=-0,20\cdot 10\sqrt{10}\cdot\sin(-\pi/6)= -v_{\max}\cdot(-\tfrac{1}{2})= \tfrac{1}{2}v_{\max}\approx 3,1623\\ \mathrm{m/s},
que é consistente com os dados. Pronto — isso responde (e).

Resposta

(a) \omega=10\sqrt{10}\approx 31,62\\ \mathrm{rad/s}
(b) A=0,20\\ \mathrm{m}
(c) x(0)=0,17321\\ \mathrm{m} \
v(0)=3,1623\\ \mathrm{m/s}
(d) \varphi=-\dfrac{\pi}{6} (ou 11\pi/6)
(e) x(t)=0,20\cos\!\Bigl(10\sqrt{10}\,t-\dfrac{\pi}{6}\Bigr)\\ \mathrm{m}

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