(2,5) A frequência angular de um sistema massa-mola com m=0,100 \mathrm{~g} é 20,0 \mathrm{rad} / \mathrm{s} no vácuo. (a) Se este sistema é colocado num meio com uma força resistiva viscosa dada por -(2,00 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}) v, onde v é o móduio da velocidade, determine a frequência angular de oscilação do sistema. (b) Determine o valor da constante de amortecimento para que o sistema tenha amortecimento crítico. (c) Se este sistema está sujeito, além da força resistiva do item (a), a uma força impulsionadora harmônica do tipo F_{o} \cos \left(\omega_{e} t\right), com módulo máximo de 12,0 \mathrm{~N} e frequência variável, determine a amplitude da oscilação na condição de ressonância.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede três coisas. Informações fornecidas:
m = 0,100\\ \mathrm{kg},
\omega_0 = 20,0\\ \mathrm{rad/s},
a força resistiva viscosa do meio é -b\,v com
b = 2,00\\ \mathrm{kg/s},
e a força impulsionadora (quando presente) tem amplitude
F_0 = 12,0\\ \mathrm{N}
e forma F_0\cos(\omega_e t) com \omega_e variável.
Perguntas do enunciado:
(a) Determinar a frequência angular de oscilação do sistema quando o meio apresenta o amortecimento viscoso dado por b.
(b) Determinar o valor da constante de amortecimento b para amortecimento crítico.
(c) Com a mesma força resistiva do item (a) e a força externa F_0\cos(\omega_e t), determinar a amplitude da oscilação na condição de ressonância (usar b do item (a)).

Passo 2

Modelagem física e fórmulas úteis (explicação didática). O oscilador massa-mola amortecido é descrito por
m\ddot{x}+b\dot{x}+kx=0
para o caso sem força externa. Aqui:
  • m é a massa em quilogramas;
  • b é a constante de amortecimento (coeficiente viscoso) em \mathrm{kg/s};
  • k é a constante elástica da mola em \mathrm{N/m};
  • \omega_0 é a frequência angular natural do sistema sem amortecimento, dada por
\omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}}.
Podemos inverter essa relação para obter k a partir de m e \omega_0:
k=m\omega_0^2.
Definimos também a taxa de amortecimento por unidade de massa
\beta=\frac{b}{2m}.
A frequência angular das oscilações amortecidas (quando o sistema é subamortecido, isto é, quando ainda há oscilações) é
\omega_d=\sqrt{\omega_0^2-\beta^2}.
Se \beta>\omega_0 então o sistema é sobreamortecido e não há oscilações (solução é soma de exponenciais reais decrescentes). Se \beta=\omega_0 é amortecimento crítico (uma só exponencial com multiplicidade). Se \beta<\omega_0 é subamortecido (oscilações decrescentes com frequência \omega_d).

Passo 3

Calcular a constante da mola k usando \;k=m\omega_0^2\;.
k = m\omega_0^2 = (0,100)\times(20,0)^2.
Faço a conta passo a passo:
(20,0)^2 = 400,
k = 0,100\times 400 = 40,0\\ \mathrm{N/m}.
Portanto a mola é relativamente rígida: k=40,0\\ \mathrm{N/m}.

Passo 4

Calcular a taxa de amortecimento \beta=\dfrac{b}{2m} (isso mede quão rápido o amortecimento age por unidade de massa).
\beta = \frac{b}{2m}=\frac{2,00}{2\times 0,100}=\frac{2,00}{0,200}=10,0\\ \mathrm{s^{-1}}.

Passo 5

Verificar se o sistema é subamortecido (oscila), criticamente amortecido ou sobreamortecido. Comparar \beta com \omega_0:
\beta=10,0\\ \mathrm{s^{-1}},\qquad \omega_0=20,0\\ \mathrm{rad/s}.
Como \beta<\omega_0 (ou seja, 10,0<20,0), o sistema é subamortecido e, portanto, oscila com frequência amortecida \omega_d. Então podemos usar a fórmula para \omega_d.

Passo 6

Determinar a frequência angular amortecida \omega_d usando
\omega_d=\sqrt{\omega_0^2-\beta^2}.
Substituo os valores:
\omega_d=\sqrt{(20,0)^2-(10,0)^2}=\sqrt{400-100}=\sqrt{300}.
Calculo numérico:
\sqrt{300}\approx 17,3205\\ \mathrm{rad/s}.
Arredondando com três algarismos significativos: \omega_d\approx 17,3\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 7

Determinar a constante de amortecimento para amortecimento crítico. A condição de amortecimento crítico é \beta=\omega_0, isto é b_{\text{crit}}/(2m)=\omega_0. Portanto
b_{\text{crit}} = 2m\omega_0.
Faço a conta:
b_{\text{crit}}=2\times 0,100\times 20,0=4,00\\ \mathrm{kg/s}.
Portanto o valor de b que dá amortecimento crítico é 4,00\\ \mathrm{kg/s}. Observação motivadora: nosso b=2,00\\ \mathrm{kg/s} é menor que 4,00\\ \mathrm{kg/s}, por isso o sistema é subamortecido (conferido no passo anterior).

Passo 8

Agora a parte (c): amplitude na condição de ressonância com amortecimento b=2,00\\ \mathrm{kg/s} e força F_0\cos(\omega_e t) com F_0=12,0\\ \mathrm{N}.
Primeiro a fórmula geral para a amplitude em regime estacionário (solução particular) de um oscilador massa-mola amortecido forçado é
A(\omega_e)=\frac{F_0}{\sqrt{(k-m\omega_e^2)^2+(b\omega_e)^2}}.
É comum definir k=m\omega_0^2 e \beta=b/(2m) para manipular essa expressão.
A frequência de máxima amplitude (ressonância real para sistema amortecido) é
\omega_{\text{res}}=\sqrt{\omega_0^2-2\beta^2},
desde que \omega_0^2>2\beta^2. Caso contrário, a amplitude decresce monotonicamente com \omega_e e o máximo ocorre em \omega_e=0. No nosso caso:
\omega_0^2-2\beta^2=400-2\times 100=400-200=200>0,
logo existe ressonância em frequência não nula. Assim
\omega_{\text{res}}=\sqrt{200}\approx 14,142\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 9

Determinar a amplitude máxima (em ressonância) explicitamente. Podemos usar a expressão que resulta da maximização da amplitude e simplificar. Usando b=2m\beta obtém-se (derivação resumida):
A_{\text{res}}=\frac{F_0}{b\sqrt{\omega_0^2-\beta^2}}.
Confirmo usando os valores já calculados:
\beta=10,0\\ \mathrm{s^{-1}},\qquad \omega_0^2-\beta^2=400-100=300,
\sqrt{\omega_0^2-\beta^2}=\sqrt{300}\approx 17,3205\\ \mathrm{rad/s}.
Então
A_{\text{res}}=\frac{12,0}{2,00\times 17,3205}=\frac{12,0}{34,641}\approx 0,3464\\ \mathrm{m}.
Arredondando com três algarismos significativos: A_{\text{res}}\approx 0,346\\ \mathrm{m} (cerca de 34,6\\ \mathrm{cm}).
Observação didática: para amortecimento pequeno (\beta\ll\omega_0) a fórmula simplifica para A_{\text{res}}\approx F_0/(b\omega_0). Se eu aplicasse essa aproximação teria A\approx 12/(2\times 20)=0,300\\ \mathrm{m}, valor razoavelmente próximo do cálculo exato 0,346\\ \mathrm{m}.

Resposta

(a) \omega_d=\sqrt{\omega_0^2-\left(\dfrac{b}{2m}\right)^2}=\sqrt{(20,0)^2-(10,0)^2}=\sqrt{300}\approx 17,3\\ \mathrm{rad/s}.
(b) b_{\text{crit}}=2m\omega_0=2\times 0,100\times 20,0=4,00\\ \mathrm{kg/s}.
(c) A_{\text{res}}=\dfrac{F_0}{b\sqrt{\omega_0^2-(b/2m)^2}}=\dfrac{12,0}{2,00\sqrt{300}}\approx 0,346\\ \mathrm{m}.

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