A frequência angular de um sistema massa-mola com
é
no vácuo. (a) Se este sistema é colocado num meio com uma força resistiva viscosa dada por
, onde
é o móduio da velocidade, determine a frequência angular de oscilação do sistema. (b) Determine o valor da constante de amortecimento para que o sistema tenha amortecimento crítico. (c) Se este sistema está sujeito, além da força resistiva do item (a), a uma força impulsionadora harmônica do tipo
, com módulo máximo de
e frequência variável, determine a amplitude da oscilação na condição de ressonância.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede três coisas. Informações fornecidas:
a força resistiva viscosa do meio é
com
e a força impulsionadora (quando presente) tem amplitude
e forma
com
variável.
Perguntas do enunciado:
(a) Determinar a frequência angular de oscilação do sistema quando o meio apresenta o amortecimento viscoso dado por .
(b) Determinar o valor da constante de amortecimento para amortecimento crítico.
(c) Com a mesma força resistiva do item (a) e a força externa , determinar a amplitude da oscilação na condição de ressonância (usar
do item (a)).
(a) Determinar a frequência angular de oscilação do sistema quando o meio apresenta o amortecimento viscoso dado por
(b) Determinar o valor da constante de amortecimento
(c) Com a mesma força resistiva do item (a) e a força externa
Passo 2
Modelagem física e fórmulas úteis (explicação didática). O oscilador massa-mola amortecido é descrito por
para o caso sem força externa. Aqui:
-
é a massa em quilogramas; -
é a constante de amortecimento (coeficiente viscoso) em ; -
é a constante elástica da mola em ; -
é a frequência angular natural do sistema sem amortecimento, dada por
Podemos inverter essa relação para obter
a partir de
e
:
Definimos também a taxa de amortecimento por unidade de massa
A frequência angular das oscilações amortecidas (quando o sistema é subamortecido, isto é, quando ainda há oscilações) é
Se
então o sistema é sobreamortecido e não há oscilações (solução é soma de exponenciais reais decrescentes). Se
é amortecimento crítico (uma só exponencial com multiplicidade). Se
é subamortecido (oscilações decrescentes com frequência
).
Passo 3
Calcular a constante da mola
usando
.
Faço a conta passo a passo:
Portanto a mola é relativamente rígida:
Passo 4
Calcular a taxa de amortecimento
(isso mede quão rápido o amortecimento age por unidade de massa).
Passo 5
Verificar se o sistema é subamortecido (oscila), criticamente amortecido ou sobreamortecido. Comparar
com
:
Como
(ou seja,
), o sistema é subamortecido e, portanto, oscila com frequência amortecida
. Então podemos usar a fórmula para
.
Passo 6
Determinar a frequência angular amortecida
usando
Substituo os valores:
Calculo numérico:
Arredondando com três algarismos significativos:
Passo 7
Determinar a constante de amortecimento para amortecimento crítico. A condição de amortecimento crítico é
, isto é
. Portanto
Faço a conta:
Portanto o valor de
que dá amortecimento crítico é
. Observação motivadora: nosso
é menor que
, por isso o sistema é subamortecido (conferido no passo anterior).
Passo 8
Agora a parte (c): amplitude na condição de ressonância com amortecimento
e força
com
.
Primeiro a fórmula geral para a amplitude em regime estacionário (solução particular) de um oscilador massa-mola amortecido forçado é
É comum definir
e
para manipular essa expressão.
A frequência de máxima amplitude (ressonância real para sistema amortecido) é
desde que
. Caso contrário, a amplitude decresce monotonicamente com
e o máximo ocorre em
. No nosso caso:
logo existe ressonância em frequência não nula. Assim
Passo 9
Determinar a amplitude máxima (em ressonância) explicitamente. Podemos usar a expressão que resulta da maximização da amplitude e simplificar. Usando
obtém-se (derivação resumida):
Confirmo usando os valores já calculados:
Então
Arredondando com três algarismos significativos:
(cerca de
).
Observação didática: para amortecimento pequeno
a fórmula simplifica para
. Se eu aplicasse essa aproximação teria
, valor razoavelmente próximo do cálculo exato
.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)