Um bloco de massa m = 5,0 kg desliza sobre uma mesa horizontal sem atrito, puxado por uma mola de constante elástica k = 500 N/m. Em t = 0, a mola está relaxada e o bloco tem velocidade v = 10,0 m/s. Determine:
A taxa de variação da energia potencial da mola quando a compressão é 5,0 cm.
A taxa de variação da energia potencial da mola quando a compressão é 5,0 cm.
Passo 1
O enunciado dá um bloco de massa
que desliza sem atrito e está ligado a uma mola de constante elástica
. Em
a mola está relaxada (
) e o bloco tem velocidade inicial
. Pergunta-se a taxa de variação da energia potencial da mola (isto é,
) quando a compressão é
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
-
. -
. -
em . - Queremos
no instante em que . - Não há atrito, logo a energia mecânica total é conservada.
Passo 2
Definição da energia potencial elástica da mola e sua derivada temporal: a energia potencial armazenada na mola quando comprimida/esticada por uma distância
é
Para achar a taxa de variação temporal usamos a regra da cadeia (derivada de função composta): se
então
Aqui
é a velocidade do bloco na direção que aumenta a compressão (se a compressão aumenta,
). Portanto, para calcular
precisamos do valor de
(já dado:
) e de
no mesmo instante — que é a velocidade instantânea do bloco.
Passo 3
Obter a velocidade instantânea
usando conservação de energia (explico por que): como não há atrito nem forças dissipativas, a energia mecânica total
é constante:
No instante
,
e
, então
Igualando as expressões para um instante qualquer
:
Isolando
:
Essa fórmula é muito útil na prova: ela relaciona a velocidade instantânea com a compressão da mola sem resolver equações de movimento diretamente.
Passo 4
Substituir os valores numéricos para calcular
quando
.
Calculemos primeiro
e
:
Agora
Calcule passo a passo:
logo
Tirando a raiz quadrada (velocidade positiva no sentido de compressão):
Passo 5
Agora usamos a fórmula da derivada da energia do passo 2:
Substituindo
,
e
:
Calculemos:
, portanto
Passo 6
Interpretação do sinal: o valor é positivo, o que faz sentido físico — enquanto o bloco comprime a mola, a energia potencial da mola aumenta, portanto
. Num enunciado de prova pode ser interessante comentar isto brevemente: a energia cinética do bloco está sendo convertida em energia potencial elástica.