Um bloco de massa m = 5,0 kg desliza sobre uma mesa horizontal sem atrito, puxado por uma mola de constante elástica k = 500 N/m. Em t = 0, a mola está relaxada e o bloco tem velocidade v = 10,0 m/s. Determine:
A taxa de variação da energia potencial da mola quando a compressão é 5,0 cm.

Passo 1

O enunciado dá um bloco de massa m=5{,}0\\ \text{kg} que desliza sem atrito e está ligado a uma mola de constante elástica k=500\\ \text{N/m}. Em t=0 a mola está relaxada ( x=0) e o bloco tem velocidade inicial v_0=10{,}0\\ \text{m/s}. Pergunta-se a taxa de variação da energia potencial da mola (isto é, \dfrac{dU}{dt}) quando a compressão é x=5{,}0\\ \text{cm}=0{,}05\\ \text{m}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • m=5{,}0\\ \text{kg}.
  • k=500\\ \text{N/m}.
  • v_0=10{,}0\\ \text{m/s} em x=0.
  • Queremos \dfrac{dU}{dt} no instante em que x=0{,}05\\ \text{m}.
  • Não há atrito, logo a energia mecânica total é conservada.

Passo 2

Definição da energia potencial elástica da mola e sua derivada temporal: a energia potencial armazenada na mola quando comprimida/esticada por uma distância x é
U(x)=\frac{1}{2}k x^{2}.
Para achar a taxa de variação temporal usamos a regra da cadeia (derivada de função composta): se U(x(t))=\tfrac{1}{2}k x(t)^{2} então
\frac{dU}{dt}= \frac{d}{dt}\!\left(\frac{1}{2}k x^{2}\right)=k x \frac{dx}{dt}.
Aqui \dfrac{dx}{dt} é a velocidade do bloco na direção que aumenta a compressão (se a compressão aumenta, \dfrac{dx}{dt}>0). Portanto, para calcular \dfrac{dU}{dt} precisamos do valor de x (já dado: 0{,}05\\ \text{m}) e de \dfrac{dx}{dt} no mesmo instante — que é a velocidade instantânea do bloco.

Passo 3

Obter a velocidade instantânea v(x)=\dfrac{dx}{dt} usando conservação de energia (explico por que): como não há atrito nem forças dissipativas, a energia mecânica total E é constante:
E = K + U = \frac{1}{2}m v^{2} + \frac{1}{2}k x^{2} = \text{constante}.
No instante t=0, x=0 e v=v_{0}, então
E=\frac{1}{2}m v_{0}^{2}.
Igualando as expressões para um instante qualquer x:
\frac{1}{2}m v_{0}^{2} = \frac{1}{2}m v^{2} + \frac{1}{2}k x^{2}.
Isolando v^{2}:
v^{2}=v_{0}^{2}-\frac{k}{m}x^{2}.
Essa fórmula é muito útil na prova: ela relaciona a velocidade instantânea com a compressão da mola sem resolver equações de movimento diretamente.

Passo 4

Substituir os valores numéricos para calcular v quando x=0{,}05\\ \text{m}.
Calculemos primeiro \dfrac{k}{m} e x^{2}:
\frac{k}{m}=\frac{500}{5{,}0}=100\\ (\text{s}^{-2}), \qquad x^{2}=(0{,}05)^{2}=0{,}0025\\ \text{m}^{2}.
Agora
v^{2}=v_{0}^{2}-\frac{k}{m}x^{2}= (10{,}0)^{2}-100\cdot 0{,}0025.
Calcule passo a passo:
(10{,}0)^{2}=100,\qquad 100\cdot 0{,}0025=0{,}25,
logo
v^{2}=100-0{,}25=99{,}75.
Tirando a raiz quadrada (velocidade positiva no sentido de compressão):
v=\sqrt{99{,}75}\approx 9{,}9875\\ \text{m/s}.

Passo 5

Agora usamos a fórmula da derivada da energia do passo 2:
\frac{dU}{dt}=k x v.
Substituindo k=500, x=0{,}05 e v\approx 9{,}9875:
\frac{dU}{dt}=500\cdot 0{,}05 \cdot 9{,}9875.
Calculemos: 500\cdot 0{,}05=25, portanto
\frac{dU}{dt}=25\cdot 9{,}9875=249{,}6875\\ \text{W}.

Passo 6

Interpretação do sinal: o valor é positivo, o que faz sentido físico — enquanto o bloco comprime a mola, a energia potencial da mola aumenta, portanto dU/dt>0. Num enunciado de prova pode ser interessante comentar isto brevemente: a energia cinética do bloco está sendo convertida em energia potencial elástica.

Resposta

\,249{,}7\\ \text{W}

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