Um bloco de massa m = 5,0 kg desliza sobre uma mesa horizontal sem atrito, puxado por uma mola de constante elástica k = 500 N/m. Em t = 0, a mola está relaxada e o bloco tem velocidade v = 10,0 m/s. Determine:
A taxa de variação da energia cinética do bloco quando a compressão é máxima.

Passo 1

O enunciado dá um bloco ligado a uma mola, sem atrito, com: m=5{,}0\\ \text{kg}, k=500\\ \text{N/m}. Em t=0 a mola está relaxada (ou seja x=0) e o bloco tem velocidade inicial v_0=10{,}0\\ \text{m/s}. A pergunta é: qual é a taxa de variação da energia cinética do bloco (isto é, dK/dt) no instante em que a compressão da mola é máxima?

Passo 2

Entender o que acontece fisicamente: o bloco parte com energia cinética inicial e vai comprimindo a mola, convertendo energia cinética em energia potencial elástica até o ponto de máxima compressão. Nesse ponto de máxima compressão o bloco inverte o sentido do movimento e, portanto, sua velocidade instantânea é nula ( v=0). Vamos verificar o valor da compressão máxima por conservação de energia para termos o x nesse instante (apesar de, como veremos, não ser necessário para concluir o valor de dK/dt).
Conservação de energia mecânica (sem atrito) entre t=0 e o instante de máxima compressão:
\frac{1}{2}m v_0^2 = \frac{1}{2}k x_{\max}^2.
Isolando x_{\max}:
x_{\max} = v_0\sqrt{\frac{m}{k}}.
Substituindo números:
x_{\max} = 10{,}0\sqrt{\frac{5{,}0}{500}} = 10{,}0\sqrt{0{,}01} = 10{,}0\cdot 0{,}1 = 1{,}0\\ \text{m}.
Portanto no instante de máxima compressão temos x=1{,}0\\ \text{m} e, como dito, v=0.

Passo 3

Agora vamos identificar uma relação geral entre a variação temporal da energia cinética e as forças: a energia cinética é K=\tfrac{1}{2}m v^2. Diferenciando em relação ao tempo (usando regra da cadeia) obtemos
\frac{dK}{dt}=m v \frac{dv}{dt}=m v a.
Pelo segundo princípio de Newton m a = F_{\text{res}}, onde F_{\text{res}} é a força resultante sobre o bloco. Assim
\frac{dK}{dt}=F_{\text{res}}\;v.
Esta é a relação física: a taxa de variação da energia cinética é a potência entregue pela força resultante.

Passo 4

No nosso caso a única força horizontal é a força elástica da mola, que vale (com a convenção x medido para a compressão)
F_{\text{mol}}=-k x.
Não há atrito nem outras forças horizontais, então F_{\text{res}}=-k x. Portanto
\frac{dK}{dt}=(-k x)\,v = -k x v.
Como checagem alternativa (mesma expressão por outra via): diferenciando a energia potencial elástica U=\tfrac{1}{2}k x^2 \dfrac{dU}{dt}=k x v; pela conservação K+U= constante segue \dfrac{dK}{dt}=-\dfrac{dU}{dt}=-k x v, mesma expressão.

Passo 5

Agora avaliaremos \dfrac{dK}{dt} exatamente no instante de máxima compressão. Neste instante sabemos que v=0 (o bloco pára momentaneamente). Substituindo em \dfrac{dK}{dt}=-k x v temos
\frac{dK}{dt}=-k\,(x_{\max})\cdot 0 = 0.
Mesmo que a aceleração não seja zero (de fato a=-\tfrac{k}{m}x_{\max} é diferente de zero), a taxa de variação da energia cinética é o produto da força pelo deslocamento por unidade de tempo (potência) e esse produto contém um fator v que zera o valor instantâneo. Em termos intuitivos: no ponto de inversão a energia cinética atinge seu mínimo instantâneo (zero) e a inclinação temporal desse mínimo é zero.

Resposta

0\\ \text{W}

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