Um bloco de massa m = 5,0 kg desliza sobre uma mesa horizontal sem atrito, puxado por uma mola de constante elástica k = 500 N/m. Em t = 0, a mola está relaxada e o bloco tem velocidade v = 10,0 m/s. Determine:
A taxa de variação da energia cinética do bloco quando a compressão é máxima.
A taxa de variação da energia cinética do bloco quando a compressão é máxima.
Passo 1
O enunciado dá um bloco ligado a uma mola, sem atrito, com:
,
. Em
a mola está relaxada (ou seja
) e o bloco tem velocidade inicial
. A pergunta é: qual é a taxa de variação da energia cinética do bloco (isto é,
) no instante em que a compressão da mola é máxima?
Passo 2
Entender o que acontece fisicamente: o bloco parte com energia cinética inicial e vai comprimindo a mola, convertendo energia cinética em energia potencial elástica até o ponto de máxima compressão. Nesse ponto de máxima compressão o bloco inverte o sentido do movimento e, portanto, sua velocidade instantânea é nula (
). Vamos verificar o valor da compressão máxima por conservação de energia para termos o
nesse instante (apesar de, como veremos, não ser necessário para concluir o valor de
).
Conservação de energia mecânica (sem atrito) entre
e o instante de máxima compressão:
Isolando
:
Substituindo números:
Portanto no instante de máxima compressão temos
e, como dito,
.
Passo 3
Agora vamos identificar uma relação geral entre a variação temporal da energia cinética e as forças: a energia cinética é
. Diferenciando em relação ao tempo (usando regra da cadeia) obtemos
Pelo segundo princípio de Newton
, onde
é a força resultante sobre o bloco. Assim
Esta é a relação física: a taxa de variação da energia cinética é a potência entregue pela força resultante.
Passo 4
No nosso caso a única força horizontal é a força elástica da mola, que vale (com a convenção
medido para a compressão)
Não há atrito nem outras forças horizontais, então
. Portanto
Como checagem alternativa (mesma expressão por outra via): diferenciando a energia potencial elástica
dá
; pela conservação
constante segue
, mesma expressão.
Passo 5
Agora avaliaremos
exatamente no instante de máxima compressão. Neste instante sabemos que
(o bloco pára momentaneamente). Substituindo em
temos
Mesmo que a aceleração não seja zero (de fato
é diferente de zero), a taxa de variação da energia cinética é o produto da força pelo deslocamento por unidade de tempo (potência) e esse produto contém um fator
que zera o valor instantâneo. Em termos intuitivos: no ponto de inversão a energia cinética atinge seu mínimo instantâneo (zero) e a inclinação temporal desse mínimo é zero.