Um bloco de massa m = 5,0 kg desliza sobre uma mesa horizontal sem atrito, puxado por uma mola de constante elástica k = 500 N/m. Em t = 0, a mola está relaxada e o bloco tem velocidade v = 10,0 m/s. Determine:
A taxa de variação da energia potencial da mola quando a compressão é máxima.

Passo 1

O enunciado dá um bloco de massa m=5{,}0\\ \text{kg} que desliza sem atrito numa mesa e está ligado a uma mola de constante elástica k=500\\ \text{N/m}. Em t=0 a mola está relaxada ( x(0)=0) e o bloco tem velocidade v(0)=10{,}0\\ \text{m/s}. A pergunta é: qual a taxa de variação da energia potencial da mola quando a compressão é máxima? Listei as informações relevantes:
  • m=5{,}0\\ \text{kg},
  • k=500\\ \text{N/m},
  • na t=0: x=0 e v=10{,}0\\ \text{m/s},
  • sistema sem atrito (energia mecânica conservada),
  • preciso achar \dfrac{dU}{dt} no instante de compressão máxima.

Passo 2

Vamos lembrar as fórmulas básicas (com explicação): a energia cinética de um corpo de massa m e velocidade v é
K=\tfrac{1}{2}m v^2,
onde m é a massa e v a velocidade. A energia potencial elástica armazenada numa mola comprimida/esticada de distância x (medida a partir da posição relaxada) é
U=\tfrac{1}{2}k x^2,
onde k é a constante elástica da mola e x é a compressão (positivo se comprimida). Como não há atrito, a energia mecânica total E=K+U é constante no movimento. Vou usar isso para achar a compressão máxima.

Passo 3

Determinar a compressão máxima x_{\text{max}}. No instante inicial t=0 a mola está relaxada, então U(0)=0 e toda a energia é cinética:
E = K(0)+U(0)=\tfrac{1}{2}m v(0)^2 + 0 = \tfrac{1}{2}m v^2.
No ponto de compressão máxima a velocidade do bloco é zero (é o ponto de inversão do movimento), logo K=0 e toda a energia está na mola:
E = U_{\text{max}} = \tfrac{1}{2}k x_{\text{max}}^2.
Igualando as duas expressões para E,
\tfrac{1}{2}k x_{\text{max}}^2 = \tfrac{1}{2}m v^2.
Cancelando \tfrac{1}{2} e isolando x_{\text{max}},
x_{\text{max}}=\sqrt{\frac{m v^2}{k}}.
Agora substituo os valores numéricos: m v^2 = 5{,}0\times(10{,}0)^2 = 5\times100=500. Como k=500,
x_{\text{max}}=\sqrt{\frac{500}{500}}=\sqrt{1}=1{,}0\\ \text{m}.
Então a compressão máxima é \,x_{\text{max}}=1{,}0\\ \text{m}.

Passo 4

Agora obtenho a expressão para a taxa de variação da energia potencial da mola. Diferenciando U=\tfrac{1}{2}k x^2 em relação ao tempo e usando a regra da cadeia:
\frac{dU}{dt} = \tfrac{1}{2}k \cdot 2x\cdot\frac{dx}{dt} = k x \frac{dx}{dt}.
Aqui \dfrac{dx}{dt} é a velocidade do bloco relativa à posição da mola (ou seja, a velocidade v do bloco, positiva no sentido de aumentar x). Observe que este é um resultado geral: a taxa de variação da energia potencial da mola é k x v.

Passo 5

Avalio \dfrac{dU}{dt} no instante de compressão máxima. No ponto de compressão máxima temos duas propriedades importantes: x=x_{\text{max}}=1{,}0\\ \text{m} e a velocidade instantânea do bloco é zero ( \dfrac{dx}{dt}=0) porque ali ele inverte o sentido do movimento. Substituindo na expressão
\frac{dU}{dt} = k x \frac{dx}{dt},
obtemos
\frac{dU}{dt} = (500)\times(1{,}0)\times 0 = 0.
Fisicamente: no instante exato da compressão máxima a energia não está variando — a energia está toda armazenada na mola e o bloco tem velocidade instantânea nula, então a derivada instantânea é zero.

Resposta

0\\ \text{J/s}

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