Um bloco de massa m = 5,0 kg desliza sobre uma mesa horizontal sem atrito, puxado por uma mola de constante elástica k = 500 N/m. Em t = 0, a mola está relaxada e o bloco tem velocidade v = 10,0 m/s. Determine:
A taxa de variação da energia potencial da mola quando a compressão é máxima.
A taxa de variação da energia potencial da mola quando a compressão é máxima.
Passo 1
O enunciado dá um bloco de massa
que desliza sem atrito numa mesa e está ligado a uma mola de constante elástica
. Em
a mola está relaxada (
) e o bloco tem velocidade
. A pergunta é: qual a taxa de variação da energia potencial da mola quando a compressão é máxima? Listei as informações relevantes:
-
, -
, - na
: e , - sistema sem atrito (energia mecânica conservada),
- preciso achar
no instante de compressão máxima.
Passo 2
Vamos lembrar as fórmulas básicas (com explicação): a energia cinética de um corpo de massa
e velocidade
é
onde
é a massa e
a velocidade. A energia potencial elástica armazenada numa mola comprimida/esticada de distância
(medida a partir da posição relaxada) é
onde
é a constante elástica da mola e
é a compressão (positivo se comprimida). Como não há atrito, a energia mecânica total
é constante no movimento. Vou usar isso para achar a compressão máxima.
Passo 3
Determinar a compressão máxima
. No instante inicial
a mola está relaxada, então
e toda a energia é cinética:
No ponto de compressão máxima a velocidade do bloco é zero (é o ponto de inversão do movimento), logo
e toda a energia está na mola:
Igualando as duas expressões para
,
Cancelando
e isolando
,
Agora substituo os valores numéricos:
. Como
,
Então a compressão máxima é
.
Passo 4
Agora obtenho a expressão para a taxa de variação da energia potencial da mola. Diferenciando
em relação ao tempo e usando a regra da cadeia:
Aqui
é a velocidade do bloco relativa à posição da mola (ou seja, a velocidade
do bloco, positiva no sentido de aumentar
). Observe que este é um resultado geral: a taxa de variação da energia potencial da mola é
.
Passo 5
Avalio
no instante de compressão máxima. No ponto de compressão máxima temos duas propriedades importantes:
e a velocidade instantânea do bloco é zero (
) porque ali ele inverte o sentido do movimento. Substituindo na expressão
obtemos
Fisicamente: no instante exato da compressão máxima a energia não está variando — a energia está toda armazenada na mola e o bloco tem velocidade instantânea nula, então a derivada instantânea é zero.