Um bloco plano de material cerâmico com espessura L é aquecido em um secador/forno ,Ocom ar a temperatura constante T_{-}. Inicialmente, o bloco está a uma temperatura uniforme T_{i}. O coeficiente convectivo de transferência de calor na superfície é h. As propriedades do material podem ser consideradas constantes e não há geração interna de calor.
a) Modelo Matemático: Escreva a equação de condução transiente unidimensional que descreve a variação de temperatura T(x, t) dentro do bloco.
b) Condições de Contorno e Inicial: Defina as condições de contorno apropriadas para as duas faces expostas ao ar quente, incluindo o balanço de energia por convecção e indique a condição inicial.
c) Perfis Térmicos Esperados: Descreva qualitativamente como serão os perfis de temperatura no interior do bloco ao longo do tempo:
i. imediatamente após a inserção no forno,
ii. em instantes intermediários,
iii. e na condição de regime permanente.

Passo 1

O que o enunciado pede e quais dados temos (tudo que vem do enunciado):
  • Temos um bloco plano (lâmina) de espessura \,L\, exposto ao ar quente de temperatura constante \,T_{\infty}\, (o enunciado chamou de T_{-}; aqui uso a notação usual \,T_{\infty}\,).
  • Inicialmente o bloco tem temperatura uniforme \,T_{i}\,.
  • A troca na superfície é por convecção com coeficiente \,h\,.
  • Propriedades do sólido consideradas constantes: massa específica \,\rho\,, capacidade térmica massiva \,c\,, condutividade térmica \,k.
  • Não há geração interna de calor.
  • Pedidos:
    a) escrever a equação de condução transiente unidimensional que descreve \,T(x,t)\,;
    b) expor as condições de contorno nas duas faces (balanço de energia por convecção) e a condição inicial;
    c) descrever qualitativamente os perfis térmicos dentro do bloco em três instantes: imediatamente após inserção, instantes intermediários e regime permanente.

Passo 2

Escolhendo coordenadas, definições e convenções (isto é importante antes de montar as equações).
  • Adoto um eixo \,x\, que vai de \,x=0\, (face esquerda) até \,x=L\, (face direita).
  • Defino a temperatura interna como \,T(x,t)\,.
  • Propriedades do sólido: densidade \,\rho\,(= massa por volume ), calor específico \,c\,(= capacidade térmica por unidade de massa ), condutividade térmica \,k.
  • Fluxo de calor por condução (no sentido positivo de x) obedece a Lei de Fourier:
q_x(x,t) = -k\,\frac{\partial T}{\partial x}(x,t).
  • A variável chave para difusão térmica é a difusividade térmica
\alpha=\frac{k}{\rho c},
que tem unidades \,\mathrm{m^{2}/s}\, e caracteriza a rapidez com que a temperatura se propaga no sólido.

Passo 3

Derivação da equação de calor 1D (passo-a-passo, como se fizesse numa prova).
  1. Considere um elemento prismático do sólido entre \,x\, e \,x+dx\, com área de secção \,A\, (a área cai nas contas, mas usá-la ajuda a visualizar a conservação de energia).
  2. Balanço de energia (primeiro princípio, forma diferencial): variação de energia interna do elemento = calor que entra pela face em x menos o calor que sai pela face em x+dx + geração interna (aqui zero). Escrevendo:
\rho c A\,dx\;\frac{\partial T}{\partial t} = q_x(x,t)\,A - q_x(x+dx,t)\,A.
  1. Dividindo por A\,dx e fazendo limite dx\to0:
\rho c\,\frac{\partial T}{\partial t} = -\frac{\partial q_x}{\partial x}.
  1. Substituindo q_x=-k\,\dfrac{\partial T}{\partial x}:
\rho c\,\frac{\partial T}{\partial t} = -\frac{\partial}{\partial x}\!\left(-k\frac{\partial T}{\partial x}\right) = k\,\frac{\partial^{2} T}{\partial x^{2}}.
  1. Reorganizando em forma padrão e usando \,\alpha=\dfrac{k}{\rho c}\,:
\boxed{\\ \frac{\partial T}{\partial t} = \alpha\,\frac{\partial^{2} T}{\partial x^{2}}\\ } \quad\text{para}\quad 0<x<L,\; t>0.
Explicação dos termos: \,\dfrac{\partial T}{\partial t}\, é a variação temporal local da temperatura, \,\dfrac{\partial^{2}T}{\partial x^{2}}\, mede a curvatura espacial (gradientes de gradiente) e \,\alpha\, escala quanto a curvatura espacial influencia a variação temporal.

Passo 4

Condições de contorno nas faces expostas ao ar quente (balanço convecção ↔ condução).
É mais seguro escrever o balanço usando a derivada normal à superfície. Para uma face com normal externo \,{\bf n}\, e condutividade \,k, a condição de convecção é
k\,\frac{\partial T}{\partial n}\Big|_{\text{superf}} = h\big(T_{\text{superf}}-T_{\infty}\big).
No nosso eixo unidimensional isso dá, explicitamente:
  • Na face esquerda \,x=0: o vetor normal externo aponta para -x, portanto \,\dfrac{\partial}{\partial n}=-\dfrac{\partial}{\partial x}\,. Assim o balanço fica
\boxed{\\\ -\,k\frac{\partial T}{\partial x}\Big|_{x=0} = h\big(T(0,t)-T_{\infty}\big)\\ }.
  • Na face direita \,x=L: o normal externo aponta para +x, então
\boxed{\\ k\frac{\partial T}{\partial x}\Big|_{x=L} = h\big(T(L,t)-T_{\infty}\big)\\ }.
Observação (intuitiva sobre os sinais): essas equações significam que o fluxo condutivo que chega à superfície (expressado pela derivada espacial e por k) deve ser igual ao fluxo convectivo para o ar (expressado por h vezes a diferença de temperatura). Se \,T_{\text{superf}}>T_{\infty}\, o fluxo é do sólido para o ar (positivo no sentido do normal).

Passo 5

Condição inicial (simples e direta):
  • Inicialmente, o bloco está à temperatura uniforme \,T_{i}\,:
\boxed{\\ T(x,0)=T_{i}\quad\text{para}\quad 0\le x\le L. \\ }

Passo 6

Forma compacta do problema completo (reunião das equações para fácil conferência na prova)
  • Equação de calor:
\frac{\partial T}{\partial t}=\alpha\frac{\partial^{2}T}{\partial x^{2}},\qquad 0<x<L,\; t>0.
  • Condições de contorno:
-\,k\frac{\partial T}{\partial x}\Big|_{x=0}=h\big(T(0,t)-T_{\infty}\big), \qquad k\frac{\partial T}{\partial x}\Big|_{x=L}=h\big(T(L,t)-T_{\infty}\big).
  • Condição inicial:
T(x,0)=T_{i},\qquad 0\le x\le L.
Comentário prático amigável: esse é o problema canônico de uma lâmina de espessura L com convecção em ambas as faces. Se você for resolver analiticamente em prova, normalmente se não pedir solução completa, deixa-se nessa forma; se pedir solução em série, usa-se separação de variáveis ou tabelas (ex.: soluções de Heisler) e funções próprias que respeitam as BCs convectivas.

Passo 7

Ferramentas úteis e critérios práticos que ajudam a interpretar/aproximar soluções (coisa que cai muito em prova e é ótima para decidir método rápido)
  • Número de Biot:
\mathrm{Bi}=\frac{h L}{k}.
Interpretação: compara resistência térmica de convecção na superfície com resistência térmica interna por condução. Regras práticas:
  • Se \,\mathrm{Bi}\le 0{,}1\, então a temperatura dentro do corpo é praticamente uniforme no tempo (modelo de capacidade concentrada ou “lumped capacitance” pode ser usado).
  • Se \mathrm{Bi} grande, há gradientes internos importantes e é necessário resolver a PDE.
  • Número de Fourier (adimensional do tempo):
\mathrm{Fo}=\frac{\alpha t}{L^{2}}.
Interpretação: dá a escala temporal de difusão. Pequeno \mathrm{Fo} → início do aquecimento (camadas superficiais afetadas), grande \mathrm{Fo} → regime próximo do estacionário.
  • Modelo lumped (caso \mathrm{Bi}\le0{,}1): temperatura média \bar{T}(t) do corpo decai exponencialmente:
\frac{\bar{T}(t)-T_{\infty}}{T_{i}-T_{\infty}}=\exp\!\Big(-\frac{h A_s}{\rho c V}\,t\Big).
Para uma lâmina com faces de área A, V=A\,L e área de troca total A_s=2A, o expoente fica 2h/(\rho c L). Tempo característico \tau=\dfrac{\rho c L}{2h}.

Passo 8

Perfis térmicos qualitativos — explicação didática e intuitiva para cada instante pedido (respondo (c)(i)-(iii) com imagens mentais e por que cada forma aparece)
i) Imediatamente após a inserção no forno (tempo muito pequeno, \mathrm{Fo}\ll1):
  • O ar tenta “forçar” as superfícies a se aquecerem, portanto a temperatura nas superfícies \,x=0\, e \,x=L\, começa a mudar primeiro.
  • No interior, por ora, a temperatura permanece praticamente \,T_{i}\, porque a condução ainda não teve tempo de propagar o efeito.
  • Perfil típico: quase todo o bloco está em \,T_{i}\, e surgem camadas finas nas superfícies onde T já se afastou de T_{i}; essas camadas mostram gradientes grandes (curvatura acentuada) perto das superfícies.
  • Observação física: existe um “front” de calor que ainda não penetrou profundamente.
ii) Instantes intermediários (tempo tal que \mathrm{Fo}\sim 0{,}01\!-\!1, dependendo do material):
  • O calor penetrou significativamente: as temperaturas superficiais continuam a aproximar-se de \,T_{\infty} e a região aquecida cresce em direção ao centro.
  • O perfil de temperatura é suave, tipicamente com curvatura (segunda derivada negativa se \,T_{\infty}>T_i) — a forma é semelhante a uma curva côncava que liga os valores das duas superfícies.
  • Se o bloco é simétrico (mesmas condições em ambas as faces), o perfil permanece simétrico em torno do plano médio \,x=L/2\,. O ponto médio está aquecendo mais lentamente; as superfícies aquecem mais rápido.
  • Se \mathrm{Bi} for pequeno, a diferença entre superfície e interior é pequena: perfil praticamente plano deslocando-se para T_{\infty}. Se \mathrm{Bi} for grande, haverá um gradiente interno pronunciado persistentemente.
iii) Condição de regime permanente (tempo grande, \mathrm{Fo}\to\infty):
  • Como o ar tem temperatura constante \,T_{\infty}\, e não há geração interna, a solução de regime permanente da equação \dfrac{\partial^{2}T}{\partial x^{2}}=0 sujeita às BCs convecção-igual é simplesmente
T(x,t\to\infty)=T_{\infty}\quad\text{para todo }0\le x\le L.
  • Ou seja, no longo prazo o bloco atinge temperatura uniforme igual \,T_{\infty}\,. Fisicamente: não há diferença de temperatura entre sólido e fluido no equilíbrio, logo não existe fluxo.
  • Nota prática: o tempo para alcançar efetivamente T_{\infty} depende de \alpha e de \mathrm{Bi}; muitas vezes usa-se referência como tempo para 95% de aproximação (no modelo lumped isso dá um tempo proporcional a \tau).

Passo 9

Resumo didático-final (o que levar para a prova e como justificar rapidamente)
  • Escreva rapidamente a PDE e as BCs convectivas como acima; explique que as BCs vêm do balanço “fluxo condutivo na superfície = fluxo convectivo para o ar”.
  • Mencione \alpha, \mathrm{Bi} e \mathrm{Fo} para analisar se pode usar aproximação lumped ou precisa resolver a PDE; isto vale muitos pontos em prova quando pedem “comente o que pode ser feito”.
  • Para descrição qualitativa dos perfis, diga que inicialmente só superfícies mudam, depois o calor difunde para o interior formando perfil suave, e no final o bloco fica uniforme e igual a \,T_{\infty}\,.

Resposta

a) \displaystyle \frac{\partial T}{\partial t}=\alpha\frac{\partial^{2}T}{\partial x^{2}},\quad 0<x<L,\\ t>0, com \displaystyle \alpha=\frac{k}{\rho c}.\n
b) Condições de contorno convectivas nas duas faces e condição inicial:\n
\displaystyle -\,k\frac{\partial T}{\partial x}\Big|_{x=0}=h\big(T(0,t)-T_{\infty}\big),\n
\displaystyle k\frac{\partial T}{\partial x}\Big|_{x=L}=h\big(T(L,t)-T_{\infty}\big),\n
\displaystyle T(x,0)=T_{i}\quad\text{para }0\le x\le L.\n
c) Perfis térmicos qualitativos:\n
i. Imediatamente após inserção: superfícies em trânsito térmico (temperatura começa a mudar nas faces) e interior praticamente em \,T_{i}\, — surgem camadas superficiais com gradientes acentuados.\n
ii. Instantes intermediários: frente térmica penetra em direção ao centro; perfis suaves e simétricos (se faces idênticas), temperatura das superfícies mais próxima de \,T_{\infty}\, enquanto o núcleo aquece mais lentamente; forma do perfil depende de \mathrm{Bi}=hL/k (Bi pequeno → perfil quase uniforme; Bi grande → gradientes internos pronunciados).\n
iii. Regime permanente: temperatura uniforme em todo o bloco igual a \,T_{\infty}\, (equilíbrio térmico, sem fluxo).

Exercícios relacionados