1-) Um bloco possui massa
e está preso por uma mola de constante clástica
. A força é dada por
, sendo
. O bloco é puxado 12 cm para baixo e liberado (
). Calcule:
a) O Expressão da posição para este movimento é dada por?
b) O tempo para que a amplitude seja um terço da amplitude inicial.
a) O Expressão da posição para este movimento é dada por?
b) O tempo para que a amplitude seja um terço da amplitude inicial.
Passo 1
O enunciado dá um bloco com massa
preso a uma mola de constante elástica
. Há uma força de atrito proporcional à velocidade,
, com
. O bloco é puxado
para baixo e liberado a partir do repouso. Pedidos:
a) A expressão da posição para esse movimento.
b) O tempo necessário para que a amplitude fique igual a um terço da amplitude inicial.
a) A expressão da posição
b) O tempo necessário para que a amplitude fique igual a um terço da amplitude inicial.
Passo 2
Escrevemos a equação do movimento pela 2ª lei de Newton somando as forças (força elástica e força de atrito viscoso):
Aqui
é a aceleração,
é a velocidade,
é o deslocamento (positivo para cima ou para baixo conforme convencionarmos); o sinal já está adequado para um movimento centrado em
.
Passo 3
Dividimos por
para colocar na forma padrão e definimos as quantidades usuais:
onde
Calculando numericamente:
Passo 4
Comparo
com
para ver o regime de amortecimento:
Como
, o sistema é subamortecido (underdamped). A frequência angular amortecida é
Calculando:
Passo 5
Para o caso subamortecido, a solução geral é da forma
Explico: a exponencial
representa a decadência do movimento devido ao amortecimento; os cosseno e seno representam a oscilação com frequência
.
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais.
Passo 6
Aplicamos as condições iniciais:
e
(liberado a partir do repouso). Avaliando em
:
Derivando
e avaliando em
:
Em
isso vira
Portanto
Numericamente,
Passo 7
Substituindo
e
na solução, obtemos a expressão explícita da posição:
Para ficar mais legível, escrevo com os valores arredondados a 6 dígitos:
Comentário didático: outra escrita equivalente é a forma com amplitude e fase,
onde
Numericamente
e
. Ambas as formas descrevem exatamente o mesmo movimento; use a que achar mais intuitiva.
Passo 8
Agora a parte (b): queremos o tempo para que a amplitude seja um terço da amplitude inicial. Explicação física: quando uma oscilação amortecida é liberada do repouso num máximo
, os máximos sucessivos formam uma “envoltória” exponencial que decai como
nos instantes dos picos. Assim, as amplitudes (dos picos) satisfazem
Pedem
tal que
. Então
Tomando logaritmo natural:
Substituindo
:
Observação: se alguém usar a forma com amplitude inicial
da representação com fase, obterá um número praticamente igual (diferença muito pequena porque o amortecimento é fraco); a forma acima é a mais direta e física quando a liberação é do repouso no máximo inicial.
Resposta
a)
b)