8-.
Um objeto de massa 2 kg preso a uma mola de constante elástica, oscila sem atrito sujeito a uma força F =3 \cos (2 \pi \mathrm{t}-\pi / 2), conhecendo a constante elástica da mola, 20 \mathrm{~N} / \mathrm{m}, obtenha o período e a amplitude do movimento.
Passo 1
Enunciado resumido (o que foi dado) e o que é pedido:
Massa do objeto: m=2\\ \mathrm{kg}.
Constante elástica da mola: k=20\\ \mathrm{N/m}.
Força externa aplicada (forçamento): F(t)=3\cos\bigl(2\pi t-\tfrac{\pi}{2}\bigr). Aqui o módulo da força é F_0=3\\ \mathrm{N}, a frequência angular do forçamento é \omega=2\pi\\ \mathrm{rad/s} e há um deslocamento de fase \tfrac{\pi}{2}.
O sistema é sem atrito (sem amortecimento).
Pergunta: obter o período e a amplitude do movimento.
Passo 2
Equação do movimento e interpretação das variáveis
Para um oscilador massa-mola sem atrito, a equação do movimento é
m\,\ddot{x}(t)+k\,x(t)=F(t).
Explicando cada termo: x(t) é o deslocamento em função do tempo; \ddot{x}(t) é a aceleração; m é a massa; k é a constante da mola; F(t) é a força externa aplicada (aqui oscilante).
Observação importante: para um sistema sem amortecimento, a solução geral é soma da solução homogênea (transiente, com período T_0) e de uma solução particular (regime forçado, com período igual ao do forçamento, T). Depois de tempo suficiente o regime forçado domina (a menos que as condições iniciais façam o transiente persistir).
Passo 5
Procura da solução particular e fórmula da amplitude no regime estacionário
Para encontrar a amplitude do movimento no regime estacionário (solução particular), usamos a tentativa de solução senoidal com a mesma frequência do forçamento. Como não há amortecimento, ao substituir x_p(t)=A\cos\bigl(\omega t-\tfrac{\pi}{2}+\varphi\bigr) na equação, o fator trigonométrico cancela e a amplitude A satisfaz (diretamente)
\bigl|k-m\omega^2\bigr|\,A=F_0,
pois (-m\omega^2+k)A\cos(\cdot)=F_0\cos(\cdot).
Reescrevendo com \omega_0^2=\tfrac{k}{m}, obtemos a forma prática
A=\frac{F_0}{m\,\bigl|\omega_0^2-\omega^2\bigr|}.
Explicando: F_0 é a amplitude da força; m é a massa; \omega_0 é a frequência angular natural; \omega é a frequência angular do forçamento. A expressão mostra que quanto mais próximo \omega estiver de \omega_0, maior é A (no limite sem amortecimento haveria divergência na ressonância se \omega=\omega_0).
Passo 6
Cálculo numérico da amplitude
Já temos F_0=3\\ \mathrm{N}, m=2\\ \mathrm{kg}, \omega_0^2=10 (pois \omega_0=\sqrt{10}) e \omega^2=(2\pi)^2=4\pi^2\approx 39,478.
Resumo físico: o sistema tem duas frequências importantes: a natural \omega_0=\sqrt{10} (período T_0\approx 1,986\\ \mathrm{s}) e a do forçamento \omega=2\pi (período T=1\\ \mathrm{s}). A solução total é soma de um modo livre (frequência \omega_0) e do regime forçado (frequência \omega). Em regime estacionário (após decaimento do transiente, aqui idealizado sem amortecimento mas considerando que começaremos ou analisaremos o regime particular), o movimento terá período igual ao do forçamento, T=1\\ \mathrm{s}, e amplitude calculada acima A\approx 0,0509\\ \mathrm{m}.
Resposta
Período do regime forçado (período observável no regime estacionário): T=1\\ \mathrm{s}
Período natural do sistema: T_0=\dfrac{2\pi}{\sqrt{10}}\approx 1,986\\ \mathrm{s}
Amplitude no regime estacionário: A\approx 0,0509\\ \mathrm{m} (≈ 5,09\\ \mathrm{cm})