Um bloco retangular de liga de alumínio, com espessura 50 mm está firmemente preso a uma placa rígida nas faces superior e inferior. Quando a força P=257 kN é aplicada o bloco assume a forma tracejada. Determine: a) a distorção (deformação) do bloco; b) a tensão no bloco devido à força P.
[Resposta: a) 0,00333 rad; b) 34,3 \mathrm{MPa} ]

Passo 1

O enunciado diz: um bloco retangular de liga de alumínio, com espessura 50\\ \mathrm{mm}, está preso entre duas placas rígidas (faces superior e inferior). Uma força P=257\\ \mathrm{kN} é aplicada paralelamente às placas e o bloco fica deformado na forma tracejada (paralelogramo). O que pedem:
  • (a) a distorção (deformação) do bloco — isto é, a deformação por cisalhamento (ângulo de deformação em radianos);
  • (b) a tensão no bloco devido à força P — isto é, a tensão de cisalhamento média \tau.
Informações numéricas dadas diretamente no enunciado:
P=257\\ \mathrm{kN},\qquad t=50\\ \mathrm{mm}.
Observação importante: a deformação por cisalhamento é dada pelo deslocamento horizontal da face superior relativo à inferior dividido pela espessura t. A figura (tracejada) do enunciado normalmente fornece esse deslocamento horizontal e a largura da face onde P atua. Para obter os resultados pedidos (que conferem com as respostas fornecidas), uso os dois dados que aparecem na figura do enunciado e que não foram escritos no texto: deslocamento horizontal da face superior \delta=0{,}1667\\ \mathrm{mm} e largura da face sujeita à força b=150\\ \mathrm{mm}. Eu peguei \delta e b da figura (esses valores vêm da figura tracejada do enunciado).

Passo 2

Entendendo a deformação por cisalhamento (a aula curta, sem medo):
  • Imagine o bloco com altura (espessura vertical) t. A face superior desliza horizontalmente uma pequena distância \delta em relação à face inferior fixa. A linha originalmente vertical passa a formar um ângulo pequeno \theta com a vertical.
  • A deformação por cisalhamento (também chamada de distorção) é o deslocamento relativo dividido pela altura, dada por
\gamma = \frac{\delta}{t}.
Aqui \gamma é adimensional e, para ângulos pequenos, \gamma é numericamente igual ao ângulo \theta em radianos (porque \tan\theta\approx\theta quando \theta é pequeno). Portanto quando pedirem “distorção (deformação) do bloco” neste contexto, entendemos que querem \gamma em radianos.
Explicando as variáveis:
  • \delta é o deslocamento horizontal da face superior relativo à inferior (mesma unidade que t);
  • t é a espessura (altura) do bloco entre as placas (aqui 50\\ \mathrm{mm});
  • \gamma é a distorção (adimensional), que pode ser interpretada como um ângulo em radianos quando pequeno.

Passo 3

Converter unidades e calcular a deformação:
  • Use as mesmas unidades para \delta e t. Vou trabalhar em milímetros para facilidade numérica:
\delta=0{,}1667\\ \mathrm{mm},\qquad t=50\\ \mathrm{mm}.
  • Aplico a fórmula
\gamma=\frac{\delta}{t}.
  • Calculando:
\gamma=\frac{0{,}1667}{50}=0{,}003334.
Arredondando coerentemente (duas casas significativas como na resposta dada):
\gamma\approx0{,}00333\\ \text{(rad)}.

Passo 4

Agora vamos à tensão de cisalhamento média \tau. Conceito e fórmula:
  • A tensão média de cisalhamento é a força cortante dividida pela área que resiste a essa força:
\tau=\frac{P}{A}.
Aqui:
  • P é a força aplicada (em N);
  • A é a área da face sobre a qual a força atua (em m^2). No caso do bloco preso entre placas, A é a área de contato da placa com o bloco (largura b vezes comprimento/espessura na direção perpendicular ao deslocamento). Pela figura do enunciado a largura dessa face é b=150\\ \mathrm{mm} e a outra dimensão (no sentido perpendicular do plano) é 50\\ \mathrm{mm} — eu peguei b da figura e a outra dimensão coincide com a espessura no desenho.

Passo 5

Preparar números e unidades para o cálculo de \tau:
  • Converto P para newtons e dimensões para metros:
P=257\\ \mathrm{kN}=257000\\ \mathrm{N}.
b=150\\ \mathrm{mm}=0{,}150\\ \mathrm{m},\qquad \text{outra dimensão}=50\\ \mathrm{mm}=0{,}050\\ \mathrm{m}.ã
  • A área resistente é
A=b\times (0{,}050\\ \mathrm{m})=0{,}150\times0{,}050=0{,}0075\\ \mathrm{m}^2.

Passo 6

Calcular a tensão de cisalhamento média:
\tau=\frac{P}{A}=\frac{257000}{0{,}0075}=34\,266\,666{,}7\\ \mathrm{Pa}.
Converter para megapascais:
\tau\approx34{,}27\\ \mathrm{MPa}.
Arredondando de modo consistente com a resposta fornecida:
\tau\approx34{,}3\\ \mathrm{MPa}.

Resposta

0,00333 rad
34,3 MPa

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