Questão 5. Uma viga de seção retangular 20 \mathrm{~cm} \times 30 \mathrm{~cm} suporta um momento fletor positivo de 2 \mathrm{KN} . \mathrm{m}. A peça é construída com um material que apresenta \sigma \mathrm{u}=180 \mathrm{~N} / \mathrm{cm}^{2} \sigma \mathrm{e}==320 \mathrm{~N} / \mathrm{cm}^{2}. Determinar o coeficiente de segurança.

Passo 1

Enunciado resumido e dados fornecidos:
  • Seção retangular da viga: 20\\ \text{cm} \times 30\\ \text{cm}.
  • Momento fletor aplicado: M=2\\ \text{kN}\cdot\text{m}.
  • Propriedades do material (como dadas no enunciado): \sigma_u=180\\ \text{N/cm}^2 e \sigma_e=320\\ \text{N/cm}^2.

    Pergunta: determinar o coeficiente de segurança (factor of safety) da viga frente ao momento aplicado.

Passo 2

Entendendo o que precisamos calcular:
  • Para obter o coeficiente de segurança precisamos calcular a tensão máxima de flexão gerada pelo momento e comparar essa tensão com a resistência do material.
  • Fórmula da tensão de flexão na fibra extrema (teoria da viga em flexão simples):
\sigma = \dfrac{M\,y}{I},
onde:

\sigma = tensão de flexão na fibra extrema (em \text{N/cm}^2),
M = momento fletor (em \text{N}\cdot\text{cm}),
y = distância do eixo neutro até a fibra extrema (em \text{cm}),
I = segundo momento de área da seção em relação ao eixo neutro (em \text{cm}^4).
  • O coeficiente de segurança n é, por definição de projeto mecânico (quando se usa a resistência à escoamento como limite admissível):
n=\dfrac{\text{resistência do material}}{\text{tensão solicitante}}.êã
Normalmente usa-se a resistência de escoamento (para evitar deformação plástica permanente). Vou explicar a escolha no passo apropriado.

Passo 3

Cálculo do segundo momento de área I da seção retangular (eixo neutro horizontal, passa pelo centro):
I=\dfrac{b\,h^{3}}{12},
onde b é a base (largura) e h a altura da seção. Aqui b=20\\ \text{cm} e h=30\\ \text{cm}. Então
I=\dfrac{20\cdot 30^{3}}{12}.
Calcule passo a passo:
30^{3}=27000,
\dfrac{27000}{12}=2250,
I=20\cdot 2250=45000\\ \text{cm}^{4}.

Passo 4

Conversão do momento M para unidades compatíveis ( \text{N}\cdot\text{cm}):
M=2\\ \text{kN}\cdot\text{m}=2000\\ \text{N}\cdot\text{m}.
Como 1\\ \text{m}=100\\ \text{cm},
M=2000\cdot 100=200000\\ \text{N}\cdot\text{cm}.

Passo 5

Determinação da distância y até a fibra extrema (metade da altura):
y=\dfrac{h}{2}=\dfrac{30}{2}=15\\ \text{cm}.

Passo 6

Cálculo da tensão de flexão máxima usando \sigma=\dfrac{M\,y}{I}:
\sigma=\dfrac{200000\cdot 15}{45000}.
Calcule:
200000\cdot 15=3000000,
\sigma=\dfrac{3000000}{45000}=66{,}666\ldots\\ \text{N/cm}^{2}.
Arredondando razoavelmente:
\sigma \approx 66{,}67\\ \text{N/cm}^{2}.

Passo 7

Escolha da resistência do material para o coeficiente de segurança:

Há duas resistências fornecidas no enunciado ( \sigma_u e \sigma_e), mas a notação no enunciado está ambígua. Na prática de projeto normalmente comparamos a tensão solicitante com a resistência de escoamento (limite de escoamento) para evitar deformação plástica permanente; a resistência última (ruptura) é usada para verificações de resistência última. Portanto vou assumir que a resistência de escoamento é o valor adequado para o coeficiente de segurança de serviço. Assim, vou assumir que o valor associado ao escoamento é \sigma_{e}=180\\ \text{N/cm}^{2} e que \sigma_{u}=320\\ \text{N/cm}^{2} é a resistência última. (Se o enunciado tivesse a notação invertida, o procedimento é o mesmo: usar o valor de escoamento para n de serviço.)

Passo 8

Cálculo do coeficiente de segurança n usando a resistência de escoamento \sigma_{e}=180\\ \text{N/cm}^{2}:
n=\dfrac{\sigma_{e}}{\sigma}=\dfrac{180}{66{,}666\ldots}.
Faça a divisão:
n\approx 2{,}7.

Passo 9

Observação final e alternativa rápida:
  • Resultado principal (usando resistência de escoamento): n\approx 2{,}7 — isso significa que a resistência de escoamento é cerca de 2{,}7 vezes a tensão solicitante; o componente está, portanto, dentro de segurança contra escoamento.
  • Se alguém preferir comparar com a resistência última \sigma_{u}=320\\ \text{N/cm}^{2}, o coeficiente seria \dfrac{320}{66{,}67}\approx 4{,}8. Mas para evitar deformação plástica usa-se o valor anterior.

Resposta

2{,}7

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