Um bloco retangular está em repouso entre dois planos inclinados. Em relação à horizontal, um plano faz um ângulo \theta e o outro plano faz um ângulo \varphi. Estude as condições de equilíbrio mecânico:
a) Descreva as forças que atuam no sistema.
b) Estude o equilíbrio de forças.
c) Comente sobre os possíveis valores das forças normais de reação para esse sistema.

Passo 1

Resumo do enunciado e conteúdo
Temos um bloco retangular em repouso “empurrado” entre duas superfícies planas e lisas, que formam ângulos \theta e \varphi com a horizontal. O objetivo é usar estática (equilíbrio de forças) para achar as reações normais e discutir quando elas existem (isto é, são não-negativas).

Passo 2

Descrição das forças que atuam
– Peso: \vec P = m g\,\hat y_{\,-}, vertical para baixo.
– Reação normal da face esquerda: \vec N_1, perpendicular à superfície que faz ângulo \theta; aponta para dentro do bloco.
– Reação normal da face direita: \vec N_2, perpendicular à superfície que faz ângulo \varphi; aponta para dentro do bloco.
Não há atrito, só forças normais e o peso.

Passo 3

Equilíbrio de forças em coordenadas cartesianas
Escolhemos eixos x horizontal positivo para a direita e y vertical positivo para cima.
As direções dos vetores normais são: \displaystyle \vec N_1 = N_1(\,\sin\theta\,\hat i + \cos\theta\,\hat j), \displaystyle \vec N_2 = N_2(-\,\sin\varphi\,\hat i + \cos\varphi\,\hat j).
O equilíbrio \sum \vec F=0 dá duas equações escalarizadas:
N_1\sin\theta \;-\;N_2\sin\varphi \;=\;0,
N_1\cos\theta \;+\;N_2\cos\varphi \;-\;m g \;=\;0.

Passo 4

Resolvendo para N_1 e N_2
Da primeira equação vem
N_1 \sin\theta \;=\; N_2\sin\varphi \quad\Longrightarrow\quad N_1 = N_2\,\frac{\sin\varphi}{\sin\theta}.
Substituindo na segunda:
N_2\frac{\sin\varphi}{\sin\theta}\cos\theta + N_2\cos\varphi = m g,
N_2\Bigl(\sin\varphi\cot\theta + \cos\varphi\Bigr)=m g.
Como \sin\varphi\cot\theta + \cos\varphi = \dfrac{\sin\varphi\cos\theta + \cos\varphi\sin\theta}{\sin\theta} = \dfrac{\sin(\theta+\varphi)}{\sin\theta}, obtemos
N_2 = \frac{m g\,\sin\theta}{\sin(\theta+\varphi)}, \qquad N_1 = \frac{m g\,\sin\varphi}{\sin(\theta+\varphi)}.

Passo 5

Condições para equilíbrio e comentário sobre N_1,N_2
Para o bloco realmente “encostar” em ambas as faces é preciso
N_1\ge0, \quad N_2\ge0 \;\Longrightarrow\; \sin\theta>0,\;\sin\varphi>0,\;\sin(\theta+\varphi)>0.
Como \theta,\varphi>0, basta \theta+\varphi<\pi para \sin(\theta+\varphi)>0.
– Se \theta+\varphi<\pi, as reações são finitas e positivas conforme as fórmulas acima.
– Se \theta+\varphi\to0 ou \theta+\varphi\to\pi, o denominador \sin(\theta+\varphi)\to0 e N_1,N_2\to\infty: o bloco fica “preso” com reação muito grande.
– O valor mínimo de N_1+N_2 ocorre quando \theta+\varphi=\pi/2.

Resposta

a) As forças são o peso \vec P=m g\) (vertical para baixo) e as reações normais \(\vec N_1\) e \(\vec N_2\) perpendiculares às faces inclinadas. b) Projetando \(\sum\vec F=0\) nos eixos \(x,y\) obtém-se \[\begin{cases} N_1\sin\theta - N_2\sin\varphi = 0,\\[6pt] N_1\cos\theta + N_2\cos\varphi = m g, \end{cases}
cuja solução é
N_1 = \frac{m g\,\sin\varphi}{\sin(\theta+\varphi)}, \quad N_2 = \frac{m g\,\sin\theta}{\sin(\theta+\varphi)}.
c) Para existir equilíbrio com ambas as reações apoiando N_1,N_2\ge0\] é necessário \(\theta+\varphi<\pi. Quando \theta+\varphi se aproxima de 0 ou de \pi, as reações crescem muito \to\infty, e têm valor mínimo conjunto para \theta+\varphi=\tfrac\pi2.]

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