Considere um vetor posição \vec{r}=x \hat{i}+y \hat{j}. Lembrese ou aprenda que \hat{i} e \hat{j} são versores em coordenadas cartesianas e isso significa que |\hat{i}|=|\hat{j}|=1 e que eles são perpendiculares. ( \hat{i} \cdot \hat{j}=0 e \hat{i} \times \hat{j}=\hat{k} ) Aprenda que \hat{\theta} e \hat{r} são os versores versores de um sistema de coordenadas polares. Se são versores então: |\hat{\theta}|=|\hat{r}|=1, \hat{\theta} \cdot \hat{r}=0 e \hat{r} \times \hat{\theta}=\hat{k}
a) Escreva x e y em termos de \varphi e r.
b) Escreva (decomponha) os versores \hat{\theta} e \hat{r} em termos de \hat{i} e \hat{j}.
c) Confira o resultado anterior verificando se \hat{\theta} \cdot \hat{\theta}= 1, \hat{r} \cdot \hat{r}=1, \hat{\theta} \cdot \hat{r}=0 e se \hat{\theta} \times \hat{r}=\hat{k}.
d) Escreva (decomponha) os versores \hat{i} e \hat{j} em termos de \hat{\theta} e \hat{r}.
e) Confira o resultado anterior verificando se \hat{i} e \hat{j} satisfazem as propriedades de um versor (afinal você já entendeu o que é um versor? ).

Passo 1

O enunciado pede fazer a ligação entre coordenadas cartesianas (x,y) e coordenadas polares (r,\varphi), além de expressar os versores de um sistema no outro e conferir suas propriedades de ortonormalidade e produto vetorial. Vamos usar:
– Num triângulo retângulo, x e y são as projeções de r nos eixos.
– Definição de versor: \hat{u}=\vec u/|\vec u|.
– Propriedades de versores ortonormais: módulo 1, produto escalar zero entre direções diferentes e produto vetorial seguindo a regra da mão direita.

Passo 2

Para escrever x e y em termos de r e \varphi, projetamos o vetor posição \vec r no eixo x e no eixo y. Do triângulo retângulo formado:
x = r\cos\varphi,
y = r\sin\varphi.

Passo 3

Para decompor os versores polares em \hat{i} e \hat{j}:
– O versor radial é
\hat{r} = \frac{\vec r}{r} = \frac{x\,\hat{i} + y\,\hat{j}}{r} = \cos\varphi\,\hat{i} + \sin\varphi\,\hat{j}.
– O versor angular, perpendicular a \hat{r}, pode ser obtido derivando a posição angular ou girando \hat{r} 90^\circ no sentido anti-horário:
\hat{\theta} = -\sin\varphi\,\hat{i} + \cos\varphi\,\hat{j}.

Passo 4

Verificamos as propriedades de ortonormalidade e produto vetorial:
  1. \hat{r}\cdot\hat{r} = \cos^2\varphi + \sin^2\varphi = 1.
  2. \hat{\theta}\cdot\hat{\theta} = (-\sin\varphi)^2 + (\cos\varphi)^2 = 1.
  3. \hat{r}\cdot\hat{\theta} = \cos\varphi(-\sin\varphi) + \sin\varphi(\cos\varphi)=0.
  4. Produto vetorial
\hat{r}\times \hat{\theta} = (\cos\varphi\,\hat{i} + \sin\varphi\,\hat{j}) \times(-\sin\varphi\,\hat{i} + \cos\varphi\,\hat{j}) = (\cos^2\varphi + \sin^2\varphi)\,\hat{k} = \hat{k}.

Passo 5

Invertendo a relação (rotacionando -\varphi), obtemos \hat{i} e \hat{j} em função de \hat{r} e \hat{\theta}:
\hat{i} = \cos\varphi\,\hat{r} - \sin\varphi\,\hat{\theta},
\hat{j} = \sin\varphi\,\hat{r} + \cos\varphi\,\hat{\theta}.

Passo 6

Conferimos que \hat{i} e \hat{j} também são versores ortonormais:
  1. \hat{i}\cdot\hat{i} = \cos^2\varphi + \sin^2\varphi = 1.
  2. \hat{j}\cdot\hat{j} = \sin^2\varphi + \cos^2\varphi = 1.
  3. \hat{i}\cdot\hat{j} = \cos\varphi\,\sin\varphi - \sin\varphi\,\cos\varphi = 0.
  4. \hat{i}\times\hat{j} = \hat{k}.

Resposta

a) x = r\cos\varphi,\quad y = r\sin\varphi.
b) \displaystyle \hat{r} = \cos\varphi\,\hat{i} + \sin\varphi\,\hat{j},\quad \hat{\theta} = -\sin\varphi\,\hat{i} + \cos\varphi\,\hat{j}.
c) Conferido: \hat{r}\cdot\hat{r}=1,\;\hat{\theta}\cdot\hat{\theta}=1,\;\hat{r}\cdot\hat{\theta}=0,\;\hat{r}\times\hat{\theta}=\hat{k}.
d) \displaystyle \hat{i} = \cos\varphi\,\hat{r} - \sin\varphi\,\hat{\theta},\quad \hat{j} = \sin\varphi\,\hat{r} + \cos\varphi\,\hat{\theta}.
e) Conferido: \hat{i}\cdot\hat{i}=1,\;\hat{j}\cdot\hat{j}=1,\;\hat{i}\cdot\hat{j}=0,\;\hat{i}\times\hat{j}=\hat{k}.

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