Considere um vetor posição
. Lembrese ou aprenda que
e
são versores em coordenadas cartesianas e isso significa que
e que eles são perpendiculares. (
e
) Aprenda que
e
são os versores versores de um sistema de coordenadas polares. Se são versores então:
e
a) Escreva
e
em termos de
e
.
b) Escreva (decomponha) os versores
e
em termos de
e
.
c) Confira o resultado anterior verificando se
e se
.
d) Escreva (decomponha) os versores
e
em termos de
e
.
e) Confira o resultado anterior verificando se
e
satisfazem as propriedades de um versor (afinal você já entendeu o que é um versor? ).
a) Escreva
b) Escreva (decomponha) os versores
c) Confira o resultado anterior verificando se
d) Escreva (decomponha) os versores
e) Confira o resultado anterior verificando se
Passo 1
O enunciado pede fazer a ligação entre coordenadas cartesianas
e coordenadas polares
, além de expressar os versores de um sistema no outro e conferir suas propriedades de ortonormalidade e produto vetorial. Vamos usar:
– Num triângulo retângulo, e
são as projeções de
nos eixos.
– Definição de versor: .
– Propriedades de versores ortonormais: módulo 1, produto escalar zero entre direções diferentes e produto vetorial seguindo a regra da mão direita.
– Num triângulo retângulo,
– Definição de versor:
– Propriedades de versores ortonormais: módulo 1, produto escalar zero entre direções diferentes e produto vetorial seguindo a regra da mão direita.
Passo 2
Para escrever
e
em termos de
e
, projetamos o vetor posição
no eixo
e no eixo
. Do triângulo retângulo formado:
Passo 3
Para decompor os versores polares em
e
:
– O versor radial é
– O versor radial é
– O versor angular, perpendicular a
, pode ser obtido derivando a posição angular ou girando
no sentido anti-horário:
Passo 4
Verificamos as propriedades de ortonormalidade e produto vetorial:
-
-
-
- Produto vetorial
Passo 5
Invertendo a relação (rotacionando
), obtemos
e
em função de
e
:
Passo 6
Conferimos que
e
também são versores ortonormais:
Resposta
a)
b)
c) Conferido:
d)
e) Conferido: