Um cilindro grande (massa
e raio
) repousa no topo de dois cilindros pequenos (cada um com massa
e raio
). Os cilindrinhos estão ligados por uma corda ideal de comprimento
. (
)
a) Determine todas as forças de contato e a magnitude da tensão na corda.
b) É possível saber se os cilindros são constituídos de materiais com alguma propriedade em comum?
a) Determine todas as forças de contato e a magnitude da tensão na corda.
b) É possível saber se os cilindros são constituídos de materiais com alguma propriedade em comum?
Passo 1
Temos um grande cilindro de massa
e raio
apoiado simetricamente sobre dois cilindros idênticos de massa
e raio
. Os dois cilindros pequenos estão ligados entre si por uma corda ideal de comprimento
, presa a cada um deles de modo que exerce apenas uma força horizontal
. Todas as superfícies de contato (cilindro–cilindro e cilindro–chão) são lisas. Vamos aplicar equilíbrio de forças (estática) em cada cilindro para determinar:
– nas interações grande–pequeno, a normal ;
– na corda, a tensão ;
– dos cilindros pequenos com o chão, a normal .
– nas interações grande–pequeno, a normal
– na corda, a tensão
– dos cilindros pequenos com o chão, a normal
Passo 2
Determinar o ângulo de contato entre o grande e cada pequeno. Se as projeções horizontais dos centros valem
e a distância centro–a–centro vale
, então
ou seja,
.
Passo 3
Equilíbrio vertical do grande cilindro. As únicas forças verticais são o peso
para baixo e as duas normais de módulo
, cada uma com componente vertical
para cima. Logo,
Passo 4
Equilíbrio do cilindro pequeno (por simetria ambos são iguais). Sobre ele atuam:
– peso [Mg) para baixo;
– normal do grande ao longo de
abaixo da horizontal (isto é, componentes
em
e
em
);
– tensão horizontal para fora (no cilindro da esquerda, para a direita);
– normal do chão vertical para cima.
– normal do grande
– tensão
– normal
Escrevendo
e
:
Substituindo
e o valor de
:
Passo 5
Reunindo resultados:
a)
a)
- Normal entre grande e cada pequeno:
, agindo ao longo das linhas de centro, a da horizontal (uma de cada lado). - Tensão na corda que liga os pequenos:
- Normal do chão em cada pequeno:
b)
Sim: como
e
vemos que a massa escala exatamente como a área da secção (∝
), o que implica densidade uniforme igual em todos os cilindros.
Resposta
a)
Normal grande–pequeno: direcionada a
da horizontal (para cada lado);
Tensão na corda: ;
Normal chão–pequeno: .
Normal grande–pequeno:
Tensão na corda:
Normal chão–pequeno:
b)
Sim. As massas e os raios satisfazem , logo todos têm a mesma densidade uniforme.
Sim. As massas e os raios satisfazem