Um cilindro grande (massa 4 M e raio 2 r ) repousa no topo de dois cilindros pequenos (cada um com massa M e raio r ). Os cilindrinhos estão ligados por uma corda ideal de comprimento 3 r. ( \vec{W}=-M g \hat{j} )
a) Determine todas as forças de contato e a magnitude da tensão na corda.
b) É possível saber se os cilindros são constituídos de materiais com alguma propriedade em comum?

Passo 1

Temos um grande cilindro de massa 4M e raio 2r apoiado simetricamente sobre dois cilindros idênticos de massa M e raio r. Os dois cilindros pequenos estão ligados entre si por uma corda ideal de comprimento 3r, presa a cada um deles de modo que exerce apenas uma força horizontal T. Todas as superfícies de contato (cilindro–cilindro e cilindro–chão) são lisas. Vamos aplicar equilíbrio de forças (estática) em cada cilindro para determinar:
– nas interações grande–pequeno, a normal \!N;
– na corda, a tensão T;
– dos cilindros pequenos com o chão, a normal N_0.

Passo 2

Determinar o ângulo de contato entre o grande e cada pequeno. Se as projeções horizontais dos centros valem \Delta x=3r/2 e a distância centro–a–centro vale 2r+r=3r, então
\cos\varphi=\frac{\Delta x}{3r}=\frac{3r/2}{3r}=\frac12, \quad \sin\varphi=\frac{\sqrt{1-(1/2)^2}}{1}=\frac{\sqrt3}{2},
ou seja, \varphi=60^\circ.

Passo 3

Equilíbrio vertical do grande cilindro. As únicas forças verticais são o peso 4Mg para baixo e as duas normais de módulo N, cada uma com componente vertical N\sin60^\circ para cima. Logo,
2\bigl(N\sin60^\circ\bigr)-4Mg=0 \quad\Longrightarrow\quad 2\Bigl(N\frac{\sqrt3}{2}\Bigr)=4Mg \quad\Longrightarrow\quad N=\frac{4Mg}{\sqrt3}.

Passo 4

Equilíbrio do cilindro pequeno (por simetria ambos são iguais). Sobre ele atuam:
– peso [Mg) para baixo;
– normal do grande N ao longo de \varphi=60^\circ abaixo da horizontal (isto é, componentes -N\cos60^\circ em x e -N\sin60^\circ em y);
– tensão T horizontal para fora (no cilindro da esquerda, para a direita);
– normal N_0 do chão vertical para cima.
Escrevendo \sum F_x=0 e \sum F_y=0:
\begin{cases} T - N\cos60^\circ =0,\\[6pt] N_0 - Mg - N\sin60^\circ =0. \end{cases}
Substituindo \cos60^\circ=1/2\] e \(\sin60^\circ=\sqrt3/2 e o valor de N:
T = N\cos60^\circ = \frac{4Mg}{\sqrt3}\cdot\frac12 = \frac{2Mg}{\sqrt3},
N_0 = Mg + N\sin60^\circ = Mg + \frac{4Mg}{\sqrt3}\cdot\frac{\sqrt3}{2} = Mg + 2Mg = 3Mg.]

Passo 5

Reunindo resultados:
a)
  • Normal entre grande e cada pequeno:
    \displaystyle N=\frac{4Mg}{\sqrt3}, agindo ao longo das linhas de centro, a 60^\circ da horizontal (uma de cada lado).
  • Tensão na corda que liga os pequenos:
    \displaystyle T=\frac{2Mg}{\sqrt3}.
  • Normal do chão em cada pequeno:
    \displaystyle N_0=3Mg. b)
    Sim: como
\text{massa do grande} =4M,\quad\text{raio do grande}=2r,
e
\text{massa do pequeno}=M,\quad\text{raio do pequeno}=r,
vemos que a massa escala exatamente como a área da secção (∝ r^2), o que implica densidade uniforme igual em todos os cilindros.

Resposta

a)
Normal grande–pequeno: \displaystyle N=\tfrac{4Mg}{\sqrt3} direcionada a 60^\circ da horizontal (para cada lado);
Tensão na corda: \displaystyle T=\tfrac{2Mg}{\sqrt3};
Normal chão–pequeno: \displaystyle N_0=3Mg.
b)
Sim. As massas e os raios satisfazem M\propto r^2, logo todos têm a mesma densidade uniforme.

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