Boa parte do material dos anéis de Saturno está na forma de pequenos grãos de poeira com um raio da ordem de
. Os grãos se encontram em uma região onde existe um gás ionizado rarefeito e podem acumular elétrons em excesso. Suponha que os grãos são esféricos, com um raio
. Quantos elétrons um grão teria que recolher para adquirir um potencial de -400 V na superfície? (Considere
no infinito.)
Passo 1
O enunciado pede que a gente calcule quantos elétrons um grão esférico de raio
precisa recolher para que a superfície do grão tenha potencial
, tomando
no infinito. Informações dadas:
Considerar que o grão pode ser tratado como uma esfera isolada carregada no vácuo (constante dielétrica do espaço livre
). A incógnita é o número de elétrons adicionais
(um número positivo) que produz esse potencial negativo.
Passo 2
Conceito e fórmula usada: o potencial elétrico
no exterior de uma esfera carregada isolada de carga total
é o mesmo que o potencial de uma carga pontual
colocada no centro; assim, o potencial na superfície de raio
em relação ao infinito é dado por
Explicando os termos:
-
é o potencial elétrico na superfície (em volts). -
é a carga total do grão (em coulombs). -
é a permissividade do vácuo, . -
é o raio da esfera (em metros).
Essa fórmula vem do fato de que o campo elétrico fora de uma esfera carregada é radial e igual ao campo de uma carga pontual, e o potencial em infinito é tomado como zero.
Passo 3
Isolar
da fórmula:
Aqui reparamos que, como
é negativo,
ficará negativo (o que faz sentido: excesso de elétrons). Vamos calcular numericamente. Usaremos
Passo 4
Calcular
passo a passo. Primeiro calcule
:
Agora multiplica por
e por
:
Multiplicando os fatores:
e então
Portanto a carga do grão é aproximadamente
.
Passo 5
Converter carga em número de elétrons. Cada elétron tem carga elemental
O número de elétrons extras (valor absoluto da carga dividido por
) é
Fazendo a divisão:
Interpretação: o grão precisa recolher cerca de
elétrons para atingir o potencial de
. Note que
é negativo (excesso de elétrons), por isso tomamos o módulo para contar elétrons.
Passo 6
Dica prática para a prova: sempre lembrar a fórmula
para esfera isolada; isole
e divida por
. Se precisar fazer de cabeça, aproxime
e
para facilitar as contas rápidas.