Boa parte do material dos anéis de Saturno está na forma de pequenos grãos de poeira com um raio da ordem de 10^{-6} \mathrm{~m}. Os grãos se encontram em uma região onde existe um gás ionizado rarefeito e podem acumular elétrons em excesso. Suponha que os grãos são esféricos, com um raio R=1,0 \times 10^{-6} \mathrm{~m}. Quantos elétrons um grão teria que recolher para adquirir um potencial de -400 V na superfície? (Considere V=0 no infinito.)

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule quantos elétrons um grão esférico de raio R precisa recolher para que a superfície do grão tenha potencial V=-400\\ \mathrm{V}, tomando V=0 no infinito. Informações dadas:
R = 1,0\times10^{-6}\\ \mathrm{m}
V_\text{superfície} = -400\\ \mathrm{V}í
Considerar que o grão pode ser tratado como uma esfera isolada carregada no vácuo (constante dielétrica do espaço livre \varepsilon_0). A incógnita é o número de elétrons adicionais n (um número positivo) que produz esse potencial negativo.

Passo 2

Conceito e fórmula usada: o potencial elétrico V no exterior de uma esfera carregada isolada de carga total Q é o mesmo que o potencial de uma carga pontual Q colocada no centro; assim, o potencial na superfície de raio R em relação ao infinito é dado por
V = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 R}.
Explicando os termos:
  • V é o potencial elétrico na superfície (em volts).
  • Q é a carga total do grão (em coulombs).
  • \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo, \varepsilon_0 \approx 8,854187817\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}.
  • R é o raio da esfera (em metros).
    Essa fórmula vem do fato de que o campo elétrico fora de uma esfera carregada é radial e igual ao campo de uma carga pontual, e o potencial em infinito é tomado como zero.

Passo 3

Isolar Q da fórmula:
Q = 4\pi\varepsilon_0 R V.
Aqui reparamos que, como V é negativo, Q ficará negativo (o que faz sentido: excesso de elétrons). Vamos calcular numericamente. Usaremos
\varepsilon_0 = 8,854187817\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m},\qquad R = 1,0\times10^{-6}\\ \mathrm{m},\qquad V=-400\\ \mathrm{V}.

Passo 4

Calcular Q passo a passo. Primeiro calcule 4\pi\varepsilon_0:
4\pi\varepsilon_0 \approx 1,11265\times10^{-10}\\ \mathrm{F/m}.
Agora multiplica por R e por V:
Q = (1,11265\times10^{-10})\times(1,0\times10^{-6})\times(-400).
Multiplicando os fatores:
1,11265\times10^{-10}\times1,0\times10^{-6} = 1,11265\times10^{-16},
e então
Q = 1,11265\times10^{-16}\times(-400) = -4,4506\times10^{-14}\\ \mathrm{C}.
Portanto a carga do grão é aproximadamente -4,4506\times10^{-14}\\ \mathrm{C}.

Passo 5

Converter carga em número de elétrons. Cada elétron tem carga elemental
e = 1,602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{C}.
O número de elétrons extras (valor absoluto da carga dividido por e) é
n = \frac{|Q|}{e} = \frac{4,4506\times10^{-14}}{1,602176634\times10^{-19}}.
Fazendo a divisão:
n \approx 2,78\times10^{5}.
Interpretação: o grão precisa recolher cerca de 2,78\times10^{5} elétrons para atingir o potencial de -400\\ \mathrm{V}. Note que Q é negativo (excesso de elétrons), por isso tomamos o módulo para contar elétrons.

Passo 6

Dica prática para a prova: sempre lembrar a fórmula V=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 R} para esfera isolada; isole Q e divida por e. Se precisar fazer de cabeça, aproxime \varepsilon_0\approx8,85\times10^{-12} e 4\pi\varepsilon_0\approx1,11\times10^{-10} para facilitar as contas rápidas.

Resposta

n \approx 2,78\times10^{5} elétrons

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