Uma bobina circular com raio de 0,0500 \mathrm{~m} possui 30 espiras e está situada sobre um plano horizontal. Ela conduz uma corrente de 5,00 \mathrm{~A} no sentido anti-horário, quando observada de cima para baixo. A bobina está em um campo magnético uniforme orientado da esquerda para a direita, com módulo igual a 1,20 \mathrm{~T}. Calcule o módulo do momento magnético e o módulo do torque sobre a bobina.

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados:
  • Raio da bobina: r=0,0500\\ \mathrm{m}.
  • Número de espiras: N=30.
  • Corrente na bobina: I=5,00\\ \mathrm{A}.
  • Campo magnético uniforme: B=1,20\\ \mathrm{T}, orientado da esquerda para a direita (horizontal).
  • A bobina está num plano horizontal e a corrente é anti-horária quando vista de cima para baixo.
O que o problema pede:
  1. Calcular o módulo do momento magnético da bobina.
  2. Calcular o módulo do torque (momento de força) sobre a bobina.

Passo 2

Entender o que é o momento magnético de uma espira e a fórmula aplicável.
  • Definição útil (para uma bobina com N espiras): o momento magnético \mu tem magnitude dada por
\mu = N I A,
onde:
  • N é o número de espiras (adimensional),
  • I é a corrente elétrica em cada espira (em \mathrm{A}),
  • A é a área da espira (em \mathrm{m}^2).
  • A área de uma espira circular de raio r é
A=\pi r^{2},
onde r é o raio em metros.
Vou agora calcular A e depois \mu.

Passo 3

Calcular a área da espira circular usando r=0,0500\\ \mathrm{m}.
A=\pi r^{2}=\pi(0,0500\\ \mathrm{m})^{2}=\pi\times 0,002500\\ \mathrm{m}^{2}=0,002500\pi\\ \mathrm{m}^{2}.
Valor numérico aproximado da área:
A\approx 0,002500\pi\\ \mathrm{m}^{2}\approx 0,00785398\\ \mathrm{m}^{2}.

Passo 4

Calcular o módulo do momento magnético \mu usando \mu = N I A.
Substituindo os valores:
\mu = 30 \times 5,00\\ \mathrm{A} \times 0,002500\pi\\ \mathrm{m}^{2}.
Fazendo as contas parciais: 30\times 5,00=150 e 150\times 0,002500=0,375. Portanto
\mu = 0,375\pi\\ \mathrm{A\,m^{2}}.
Valor numérico aproximado:
\mu \approx 0,375\pi\\ \mathrm{A\,m^{2}}\approx 1,178097\\ \mathrm{A\,m^{2}}.
Arredondando com precisão condizente com os dados:
\mu \approx 1,18\\ \mathrm{A\,m^{2}}.

Passo 5

Determinar o ângulo entre o vetor momento magnético \vec{\mu} e o campo \vec{B} para calcular o torque.
  • A direção de \vec{\mu} de uma espira circular segue a regra da mão direita: enrole os dedos no sentido da corrente e o polegar aponta na direção de \vec{\mu}.
  • A corrente é anti-horária quando vista de cima para baixo; aplicando a regra da mão direita isso dá \vec{\mu} para cima (direção vertical para cima).
  • O campo \vec{B} está horizontal (da esquerda para a direita).
  • Logo, o ângulo entre \vec{\mu} (vertical) e \vec{B} (horizontal) é 90^\circ. Assim \sin\theta=1.

Passo 6

Fórmula do torque sobre um dipolo magnético num campo uniforme e cálculo numérico.
  • A magnitude do torque \tau é dada por
\tau = \mu B \sin\theta,
onde:
  • \mu é o módulo do momento magnético (em \mathrm{A\,m^{2}}),
  • B é o módulo do campo magnético (em \mathrm{T}),
  • \theta é o ângulo entre \vec{\mu} e \vec{B}.
Como \sin\theta=1 (ângulo 90^\circ), temos
\tau = \mu B.
Substituindo \mu\approx 0,375\pi\\ \mathrm{A\,m^{2}} e B=1,20\\ \mathrm{T}:
\tau = 0,375\pi \times 1,20\\ \mathrm{N\,m}=0,45\pi\\ \mathrm{N\,m}.
Valor numérico aproximado:
\tau \approx 0,45\pi\\ \mathrm{N\,m}\approx 1,41372\\ \mathrm{N\,m}.
Arredondando com precisão adequada:
\tau \approx 1,41\\ \mathrm{N\,m}.

Resposta

\mu \approx 1,18\\ \mathrm{A\,m^{2}}
\tau \approx 1,41\\ \mathrm{N\,m}

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