Por um fio reto infinitamente longo passa uma corrente que varia lentamente
. Determine o campo elétrico induzido como função da distância
ao fio.
Passo 1
O enunciado dá um fio reto, infinito, que transporta uma corrente que varia lentamente no tempo
. Pede-se: determinar o campo elétrico induzido como função da distância radial
até o fio.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- O fio é infinito e está alinhado ao eixo
. - A corrente é
, função do tempo; a variação é lenta (aproximação quasiestática). - A variável geométrica é a distância radial
ao eixo do fio.
O que é pedido: uma expressão de, o campo elétrico induzido, em função de (e do tempo), indicando a direção e quaisquer constantes de integração necessárias.
Passo 2
Relembrando a expressão do campo magnético gerado por uma corrente reta e infinita (Biot–Savart, resultado padrão). Para um fio longo no eixo
com corrente
, o campo magnético em um ponto a distância
do fio é azimutal e vale, na aproximação quasiestática (usar o valor instantâneo
):
Explicação didática curta: a lei de Biot–Savart aplicada ao fio reto dá que as linhas de
são círculos ao redor do fio (direção
) e a magnitude decai como
. A constante
é a permeabilidade do vácuo. A hipótese “varia lentamente” permite usar essa fórmula com
no lugar de
(ou seja, despreza efeitos de retardo eletromagnético).
Passo 3
Usar a lei de Faraday em forma diferencial (equação de Maxwell–Faraday):
Interpretação: a circulação local do campo elétrico (curl) é determinada pela taxa de variação temporal do campo magnético. Aqui
é obtida derivando a expressão de
dada no passo anterior.
Passo 4
Calcular
. Como
, derivando em relação a
(mantendo
fixo) obtemos
onde
. Observação:
é função do tempo, mas para a integração em
pode ser tratada como constante (derivada em
, não em
) quando se integra em
a cada instante
.
Passo 5
Explorar a simetria do problema para escolher a forma do campo
. O fio é infinito e uniforme em
e o problema é invariante por rotações em
; portanto as quantidades só podem depender de
e
. Buscamos uma forma de
compatível com a equação do passo 3. Uma escolha consistente com a simetria é assumir
isto é, um campo elétrico ao longo do fio (direção
) que depende apenas de
e
. (Motivação: com
e
e sem quebra de simetria radial, componentes
ou
constantes não são compatíveis com a origem do lado direito que é na direção
; a escolha
dá um curl na direção
, que é exatamente o que precisamos.)
Passo 6
Escrever o componente
do rotacional em coordenadas cilíndricas e igualá-lo à componente
de
. A fórmula para o componente
do rotacional (assumindo invariância em
e
) é
Com
e sem dependência em
, isto reduz para
Pela lei de Faraday temos
Cancelando os sinais negativos:
Passo 7
Substituir
do Passo 4 na equação do Passo 6 e resolver a equação diferencial em
. Temos
Nesta igualdade, para cada instante
a função
é tratada como uma constante ao integrar em
. Integrando em
:
A primitiva de
é o logaritmo natural, logo
onde
é uma constante de integração que pode depender do tempo (mas não de
).
Passo 8
Interpretar a constante de integração e escrever a forma mais habitual. A adição de uma função apenas do tempo
corresponde, fisicamente, à liberdade de adicionar um gradiente de potencial escalar (gauge / potencial elétrico) que não altera o rotacional
. Convenientemente escreve-se a solução em forma de diferença logarítmica, introduzindo uma escala de referência
(constante de dimensão de comprimento), o que absorve
em
. Assim a solução pode ser escrita como
Explicação da escala
: ela é arbitrária e será fixada por condições de contorno ou por conveniência (por exemplo, escolhendo
). A presença do logaritmo mostra que o campo longitudinal induzido cresce (em módulo) com a razão entre
e a escala de referência; é característica de soluções logarítmicas em geometria cilíndrica infinita.
Passo 9
Comentário sobre a aproximação e aspectos físicos:
- A expressão foi obtida na aproximação quasiestática: a variação temporal é lenta o suficiente para que se possa usar a forma instantânea do campo magnético
. Em termos de frequência típica , exige-se que e comprimentos relevantes sejam muito menores que a medida de comprimento de onda . - A solução mostra que o campo elétrico induzido é paralelo ao fio (
), e não circular. Isso pode parecer contraintuitivo, mas é compatível com não nulo na direção azimutal. - O termo
faz a solução não única globalmente (necessária escolha de ); isso decorre da ausência de condições de contorno em infinito para um fio ideal e infinito.
Resposta
onde
e
é uma constante de referência (fixada por condições de contorno / gauge).