Por um fio reto infinitamente longo passa uma corrente que varia lentamente I(t). Determine o campo elétrico induzido como função da distância s ao fio. { }^{10}

Passo 1

O enunciado dá um fio reto, infinito, que transporta uma corrente que varia lentamente no tempo I(t). Pede-se: determinar o campo elétrico induzido como função da distância radial s até o fio.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O fio é infinito e está alinhado ao eixo z.
  • A corrente é I(t), função do tempo; a variação é lenta (aproximação quasiestática).
  • A variável geométrica é a distância radial \,s\, ao eixo do fio.
    O que é pedido: uma expressão de \vec E(s,t), o campo elétrico induzido, em função de s (e do tempo), indicando a direção e quaisquer constantes de integração necessárias.

Passo 2

Relembrando a expressão do campo magnético gerado por uma corrente reta e infinita (Biot–Savart, resultado padrão). Para um fio longo no eixo z com corrente I(t), o campo magnético em um ponto a distância s do fio é azimutal e vale, na aproximação quasiestática (usar o valor instantâneo I(t)):
\vec B(s,t)=\frac{\mu_0\,I(t)}{2\pi s}\,\hat\varphi.
Explicação didática curta: a lei de Biot–Savart aplicada ao fio reto dá que as linhas de \vec B são círculos ao redor do fio (direção \hat\varphi) e a magnitude decai como 1/s. A constante \mu_0 é a permeabilidade do vácuo. A hipótese “varia lentamente” permite usar essa fórmula com I(t) no lugar de I (ou seja, despreza efeitos de retardo eletromagnético).

Passo 3

Usar a lei de Faraday em forma diferencial (equação de Maxwell–Faraday):
\nabla\times\vec E = -\frac{\partial\vec B}{\partial t}.
Interpretação: a circulação local do campo elétrico (curl) é determinada pela taxa de variação temporal do campo magnético. Aqui \partial\vec B/\partial t é obtida derivando a expressão de \vec B dada no passo anterior.

Passo 4

Calcular \partial\vec B/\partial t. Como \vec B(s,t)=\dfrac{\mu_0 I(t)}{2\pi s}\,\hat\varphi, derivando em relação a t (mantendo s fixo) obtemos
\frac{\partial\vec B}{\partial t}=\frac{\mu_0}{2\pi s}\,\dot I(t)\,\hat\varphi,
onde \dot I(t)=\dfrac{dI}{dt}. Observação: \dot I(t) é função do tempo, mas para a integração em s pode ser tratada como constante (derivada em t, não em s) quando se integra em s a cada instante t.

Passo 5

Explorar a simetria do problema para escolher a forma do campo \vec E. O fio é infinito e uniforme em z e o problema é invariante por rotações em \varphi; portanto as quantidades só podem depender de s e t. Buscamos uma forma de \vec E compatível com a equação do passo 3. Uma escolha consistente com a simetria é assumir
\vec E(s,t)=E_z(s,t)\,\hat z,
isto é, um campo elétrico ao longo do fio (direção z) que depende apenas de s e t. (Motivação: com \partial/\partial\varphi=0 e \partial/\partial z=0 e sem quebra de simetria radial, componentes \hat s ou \hat\varphi constantes não são compatíveis com a origem do lado direito que é na direção \hat\varphi; a escolha \vec E\parallel\hat z dá um curl na direção \hat\varphi, que é exatamente o que precisamos.)

Passo 6

Escrever o componente \varphi do rotacional em coordenadas cilíndricas e igualá-lo à componente \varphi de -\partial\vec B/\partial t. A fórmula para o componente \varphi do rotacional (assumindo invariância em \varphi e z) é
(\nabla\times\vec E)_\varphi = \frac{\partial E_s}{\partial z}-\frac{\partial E_z}{\partial s}.
Com E_s=0 e sem dependência em z, isto reduz para
(\nabla\times\vec E)_\varphi = -\frac{\partial E_z}{\partial s}.
Pela lei de Faraday temos
-\frac{\partial E_z}{\partial s} = -\frac{\partial B_\varphi}{\partial t}.
Cancelando os sinais negativos:
\frac{\partial E_z}{\partial s} = \frac{\partial B_\varphi}{\partial t}.

Passo 7

Substituir \partial B_\varphi/\partial t do Passo 4 na equação do Passo 6 e resolver a equação diferencial em s. Temos
\frac{\partial E_z}{\partial s} = \frac{\mu_0}{2\pi s}\,\dot I(t).
Nesta igualdade, para cada instante t a função \dot I(t) é tratada como uma constante ao integrar em s. Integrando em s:
E_z(s,t)=\frac{\mu_0}{2\pi}\,\dot I(t)\int\frac{ds}{s} + C(t).
A primitiva de 1/s é o logaritmo natural, logo
E_z(s,t)=\frac{\mu_0}{2\pi}\,\dot I(t)\,\ln s + C(t),
onde C(t) é uma constante de integração que pode depender do tempo (mas não de s).

Passo 8

Interpretar a constante de integração e escrever a forma mais habitual. A adição de uma função apenas do tempo C(t) corresponde, fisicamente, à liberdade de adicionar um gradiente de potencial escalar (gauge / potencial elétrico) que não altera o rotacional \nabla\times\vec E. Convenientemente escreve-se a solução em forma de diferença logarítmica, introduzindo uma escala de referência s_0 (constante de dimensão de comprimento), o que absorve C(t) em \ln s_0. Assim a solução pode ser escrita como
\vec E(s,t)=\frac{\mu_0}{2\pi}\,\dot I(t)\,\ln\!\left(\frac{s}{s_0}\right)\,\hat z.
Explicação da escala s_0: ela é arbitrária e será fixada por condições de contorno ou por conveniência (por exemplo, escolhendo E_z(s_0,t)=0). A presença do logaritmo mostra que o campo longitudinal induzido cresce (em módulo) com a razão entre s e a escala de referência; é característica de soluções logarítmicas em geometria cilíndrica infinita.

Passo 9

Comentário sobre a aproximação e aspectos físicos:
  • A expressão foi obtida na aproximação quasiestática: a variação temporal é lenta o suficiente para que se possa usar a forma instantânea do campo magnético \vec B(s,t)=\mu_0 I(t)/(2\pi s)\,\hat\varphi. Em termos de frequência típica \omega, exige-se que s e comprimentos relevantes sejam muito menores que a medida de comprimento de onda c/\omega.
  • A solução mostra que o campo elétrico induzido é paralelo ao fio ( \hat z), e não circular. Isso pode parecer contraintuitivo, mas é compatível com \nabla\times\vec E não nulo na direção azimutal.
  • O termo \ln(s/s_0) faz a solução não única globalmente (necessária escolha de s_0); isso decorre da ausência de condições de contorno em infinito para um fio ideal e infinito.

Resposta

\vec E(s,t)=\frac{\mu_0}{2\pi}\,\dot I(t)\,\ln\!\left(\frac{s}{s_0}\right)\,\hat z,
onde \dot I(t)=\dfrac{dI}{dt} e s_0 é uma constante de referência (fixada por condições de contorno / gauge).

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