Uma bobina, cujo fator de potência em atraso é igual a 0,5 , é ligada em série com um resistor a uma fonte de C.A, de 110 V . A tensão na bobina é de 76 V e o fator de potência do circuito é de 0,8 . Determinar a tensão do resistor.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
- Fonte de C.A.:
(tensão eficaz da fonte). - Bobina (indutiva) com fator de potência em atraso igual a
. A tensão na bobina é . - O circuito (resistor em série com a bobina) tem fator de potência igual a
(também em atraso). - Pergunta: determinar a tensão no resistor (ou seja, a tensão eficaz nos terminais do resistor).
Observações explícitas: a bobina e o resistor estão em série, logo a corrente que passa por ambos é a mesma. A bobina é indutiva (fator de potência em atraso).
Passo 2
Conceitos e ideias úteis (explicação didática, passo a passo):
- Em circuitos série a corrente é a mesma em todos os elementos. Portanto as tensões nos elementos são fasores que somados vetorialmente dão a tensão da fonte:
Aqui
está em fase com a corrente (ângulo
) e
está adiantada em relação à corrente por um ângulo
(porque a bobina é indutiva).
- O fator de potência de um elemento (ou do circuito) é
do ângulo entre tensão e corrente. Assim:
já que o enunciado diz “atraso” (indutivo) e, para bobina, a tensão adianta a corrente em
.
- O fator de potência do circuito dá o ângulo da tensão da fonte em relação à corrente:
- Geometricamente, se colocarmos
no eixo real (em ), a projeção real da fonte será e a projeção imaginária (positiva, porque tem componente em eixo imaginário) será . O ângulo da fonte satisfaz:
Essa fórmula vem da definição de tangente em triângulo formado pelas projeções real e imaginária da tensão resultante.
Passo 3
Calculemos o valor numérico de
e da tangente correspondente:
Usamos a relação
. Então
Portanto
.
Passo 4
Use a fórmula do passo 2 com os dados numéricos. Lembremos que
, portanto
e
. Substituindo:
Agora vamos isolar
.
Passo 5
Resolva a equação para
. Partindo de
multiplicando ambos os lados por
e dividindo por
obtemos
Simplificando numericamente:
. E
. Assim
Logo
Passo 6
Avaliação numérica (aproximação prática para a prova, com duas casas decimais). Usando
:
portanto
Arredondando convenientemente para duas casas decimais:
Passo 7
Verificação rápida (sanity check): podemos checar que a tensão da fonte calculada por soma vetorial dá aproximadamente
. As projeções são:
Magnitude:
próximo de
(diferença por arredondamento), então o resultado faz sentido.