Uma bobina, cujo fator de potência em atraso é igual a 0,5 , é ligada em série com um resistor a uma fonte de C.A, de 110 V . A tensão na bobina é de 76 V e o fator de potência do circuito é de 0,8 . Determinar a tensão do resistor.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Fonte de C.A.: 110\\ \text{V} (tensão eficaz da fonte).
  • Bobina (indutiva) com fator de potência em atraso igual a 0{,}5. A tensão na bobina é 76\\ \text{V}.
  • O circuito (resistor em série com a bobina) tem fator de potência igual a 0{,}8 (também em atraso).
  • Pergunta: determinar a tensão no resistor (ou seja, a tensão eficaz nos terminais do resistor).
Observações explícitas: a bobina e o resistor estão em série, logo a corrente que passa por ambos é a mesma. A bobina é indutiva (fator de potência em atraso).

Passo 2

Conceitos e ideias úteis (explicação didática, passo a passo):
  • Em circuitos série a corrente é a mesma em todos os elementos. Portanto as tensões nos elementos são fasores que somados vetorialmente dão a tensão da fonte:
\mathbf{V}_\text{fonte}=\mathbf{V}_R+\mathbf{V}_L.
Aqui \mathbf{V}_R está em fase com a corrente (ângulo 0^\circ) e \mathbf{V}_L está adiantada em relação à corrente por um ângulo \varphi_L (porque a bobina é indutiva).
  • O fator de potência de um elemento (ou do circuito) é \cos do ângulo entre tensão e corrente. Assim:
\cos\varphi_L = 0{,}5\quad\Rightarrow\quad \varphi_L=\operatorname{arccos}(0{,}5)=60^\circ,
já que o enunciado diz “atraso” (indutivo) e, para bobina, a tensão adianta a corrente em \varphi_L.
  • O fator de potência do circuito dá o ângulo da tensão da fonte em relação à corrente:
\cos\varphi_\text{total}=0{,}8\quad\Rightarrow\quad \varphi_\text{total}=\operatorname{arccos}(0{,}8).
  • Geometricamente, se colocarmos \mathbf{V}_R no eixo real (em 0^\circ), a projeção real da fonte será V_R+V_L\cos\varphi_L e a projeção imaginária (positiva, porque \mathbf{V}_L tem componente em + eixo imaginário) será V_L\sin\varphi_L. O ângulo da fonte satisfaz:
\tan\varphi_\text{total}=\frac{V_L\sin\varphi_L}{V_R+V_L\cos\varphi_L}.
Essa fórmula vem da definição de tangente em triângulo formado pelas projeções real e imaginária da tensão resultante.

Passo 3

Calculemos o valor numérico de \varphi_\text{total} e da tangente correspondente:
\varphi_\text{total}=\operatorname{arccos}(0{,}8).
Usamos a relação \tan\varphi=\dfrac{\sqrt{1-\cos^2\varphi}}{\cos\varphi}. Então
\tan\varphi_\text{total}=\frac{\sqrt{1-0{,}8^2}}{0{,}8}=\frac{\sqrt{1-0{,}64}}{0{,}8}=\frac{\sqrt{0{,}36}}{0{,}8}=\frac{0{,}6}{0{,}8}=0{,}75.
Portanto \tan\varphi_\text{total}=0{,}75.

Passo 4

Use a fórmula do passo 2 com os dados numéricos. Lembremos que \varphi_L=60^\circ, portanto \cos60^\circ=\tfrac{1}{2} e \sin60^\circ=\tfrac{\sqrt{3}}{2}. Substituindo:
0{,}75=\frac{V_L\sin60^\circ}{V_R+V_L\cos60^\circ} =\frac{76\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}}{V_R+76\cdot\frac{1}{2}}.
Agora vamos isolar V_R.

Passo 5

Resolva a equação para V_R. Partindo de
0{,}75=\frac{76\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}}{V_R+38},
multiplicando ambos os lados por V_R+38 e dividindo por 0{,}75 obtemos
V_R+38=\frac{76\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}}{0{,}75}.
Simplificando numericamente: \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 76 = 38\sqrt{3}. E 1/0{,}75=\tfrac{4}{3}. Assim
V_R+38=\;38\sqrt{3}\cdot\frac{4}{3}=\frac{152}{3}\sqrt{3}.
Logo
V_R=\frac{152}{3}\sqrt{3}-38.

Passo 6

Avaliação numérica (aproximação prática para a prova, com duas casas decimais). Usando \sqrt{3}\approx 1{,}73205:
\frac{152}{3}\sqrt{3}\approx 50{,}6667\cdot 1{,}73205\approx 87{,}757,
portanto
V_R\approx 87{,}757-38=49{,}757\\ \text{V}.
Arredondando convenientemente para duas casas decimais:
V_R\approx 49{,}76\\ \text{V}.

Passo 7

Verificação rápida (sanity check): podemos checar que a tensão da fonte calculada por soma vetorial dá aproximadamente 110\\ \text{V}. As projeções são:
\text{parte real} = V_R + V_L\cos60^\circ \approx 49{,}757+38=87{,}757,
\text{parte imag.} = V_L\sin60^\circ \approx 65{,}818.
Magnitude:
\sqrt{87{,}757^2+65{,}818^2}\approx 109{,}8\\ \text{V},
próximo de 110\\ \text{V} (diferença por arredondamento), então o resultado faz sentido.

Resposta

V_R=49{,}76\\ \text{V}

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